Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ϕ.
ϕ
∗
G
(Θ, B),
H, θ
Θ
G∈G
R
G
( ϕ ) =
θ∈Θ
R( ϕ |θ), (5.1)
R
G
( ϕ ) ϕ.
R
G
( ϕ ) =
Z
Θ
R( ϕ |θ) d G( θ ) 6
θ∈Θ
R( ϕ |θ),
G∈G
R
G
( ϕ ) 6
θ∈Θ
R( ϕ |θ).
θ∈Θ
R( ϕ |θ) =
G∈H
R
G
( ϕ ) >
G∈G
R
G
( ϕ ). 2
G
∗
R
G
∗
(ϕ
G
∗
) > R
G
(ϕ
G
) .
G,
R
G
(ϕ
G
) =
θ∈Θ
R( ϕ
G
|θ), (5.2)
êàêîâî áû íè áûëî ïðàâèëî ϕ.

     Òàêèì îáðàçîì, íà ìèíèìàêñíîì ïðàâèëå ϕ∗ äîñòèãàåòñÿ íàèìåíüøåå
çíà÷åíèå ìàêñèìóìà ôóíêöèè ðèñêà.

     Ïðåäëîæåíèå 5.1. Ïóñòü G  êëàññ âñåâîçìîæíûõ àïðèîðíûõ ðàñïðå-
äåëåíèé íà èçìåðèìîì ïàðàìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå                      (Θ, B),   âêëþ÷àþ-

ùèé êëàññ      H,   âûðîæäåííûõ â êàæäîé òî÷êå            θ   ïàðàìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàí-

ñòâà    Θ   àïðèîðíûõ ðàñïðåäåëåíèé. Òîãäà


                              sup R G ( ϕ ) = sup R( ϕ | θ),                         (5.1)
                              G∈G                   θ∈Θ

ãäå   R G( ϕ )    àïðèîðíûé ðèñê ïðàâèëà            ϕ.
     Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïîñêîëüêó
                                  Z
                     R G( ϕ ) =       R( ϕ | θ) d G( θ ) 6 sup R( ϕ | θ),
                                  Θ                           θ∈Θ
òî
                              sup R G ( ϕ ) 6 sup R( ϕ | θ).
                              G∈G                   θ∈Θ

Ñïðàâåäëèâîñòü îáðàòíîãî íåðàâåíñòâà, îòêóäà áóäåò ñëåäîâàòü óòâåðæäå-
íèå Ïðåäëîæåíèÿ, äîêàçûâàåòñÿ ñòîëü æå ïðîñòî:

                 sup R( ϕ | θ) = sup R G ( ϕ ) > sup R G ( ϕ ).             2
                 θ∈Θ                  G∈H                 G∈G



     Ðàâåíñòâî (5.1) ãîâîðèò î òîì, ÷òî ìèíèìàêñíàÿ îöåíêà, âîçìîæíî, áóäåò
áàéåñîâñêîé ïðè íåêîòîðîì íàèõóäøåì èç âñåõ àïðèîðíûõ ðàñïðåäåëåíèé.
 ñâÿçè ñ ýòèì ââåäåì ñëåäóþùåå

     Îïðåäåëåíèå 5.2.         Àïðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå G∗ íàçûâàåòñÿ íàèìåíåå
áëàãîïðèÿòíûì, åñëè ñîîòâåòñòâóþùèé åìó áàéåñîâñêèé ðèñê íå ìåíüøå
áàéåñîâñêîãî ðèñêà ïðè ëþáîì äðóãîì àïðèîðíîì ðàñïðåäåëåíèè, òî åñòü
R G∗ (ϕ G∗ ) > R G (ϕ G ) .
     Òåîðåìà 5.1. Åñëè äëÿ áàéåñîâñêîãî ðèñêà, ñîîòâåòñòâóþùåãî íåêîòî-
ðîìó àïðèîðíîìó ðàñïðåäåëåíèþ                 G,   èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî


                               R G (ϕ G ) = sup R( ϕ G | θ),                         (5.2)
                                               θ∈Θ


                                               63

Страницы