Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ϕ
G
G
ϕ
θ∈Θ
R( ϕ |θ) >
Z
Θ
R( ϕ |θ) d G(θ) >
Z
Θ
R( ϕ
G
|θ) d G (θ) =
R
G
(ϕ
G
) =
θ∈Θ
R( ϕ
G
|θ)
ϕ
G
G
0
R
G
0
(ϕ
G
0
) =
Z
Θ
R( ϕ
G
0
|θ) d G
0
(θ) 6
Z
Θ
R( ϕ
G
|θ) d G
0
(θ) 6
θ∈Θ
R( ϕ
G
|θ) = R
G
(ϕ
G
),
G
2
R( ϕ
G
|ϑ)
G R( ϕ
G
|θ).
G
ϕ
G
X = (X
1
, . . . , X
n
)
θ.
L(θ, d) =
(θ −d)
2
θ ( 1 − θ )
.
òî   (i)   ïðàâèëî    ϕG      ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàêñíûì,                ( ii ) G   åñòü íàèìåíåå áëàãî-

ïðèÿòíîå ðàñïðåäåëåíèå.


     Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. ( i ) Ïóñòü ϕ  ëþáîå ïðàâèëî ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ.
Òîãäà
                                   Z                           Z
            sup R( ϕ | θ) >             R( ϕ | θ) d G(θ) >         R( ϕ G | θ) d G (θ) =
             θ∈Θ                    Θ                          Θ

                                       R G (ϕ G ) = sup R( ϕ G | θ)
                                                     θ∈Θ
(ñì. ðàâåíñòâî (5.2)). Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ 5.1 ϕ G åñòü ìèíèìàêñíîå ïðà-
âèëî.

     ( ii ) Åñëè G 0  íåêîòîðîå äðóãîå àïðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå, òî
                              Z                                Z
           R G 0 (ϕ G 0 ) =        R( ϕ G 0 | θ) d G 0 (θ) 6           R( ϕ G | θ) d G 0 (θ) 6
                               Θ                                   Θ

                                    sup R( ϕ G | θ) = R G (ϕ G ),
                                       θ∈Θ
òàê ÷òî ïî îïðåäåëåíèþ 5.2 G  íàèìåíåå áëàãîïðèÿòíîå ðàñïðåäåëåíèå.
2
     Ðàâåíñòâî (5.2) óòâåðæäàåò, ÷òî ñðåäíåå çíà÷åíèå R( ϕ G | ϑ) ïî àïðèîð-
íîìó ðàñïðåäåëåíèþ G ðàâíî ìàêñèìóìó ôóíêöèè ðèñêà R( ϕ G | θ). Ýòî
âûïîëíÿåòñÿ, êîãäà ôóíêöèÿ ðèñêà ïîñòîÿííà èëè, áîëåå îáùèì îáðàçîì,
íàèìåíåå áëàãîïðèÿòíîå ðàñïðåäåëåíèå G ïðèïèñûâàåò âåðîÿòíîñòü åäè-
íèöà ìíîæåñòâó ïàðàìåòðîâ, íà êîòîðîì ôóíêöèÿ ðèñêà äîñòèãàåò ñâîåãî
íàèáîëüøåãî çíà÷åíèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ñïðàâåäëèâî


     Ñëåäñòâèå 5.1. Åñëè íåêîòîðîå áàéåñîâñêîå ïðàâèëî                             ϕG   èìååò ïîñòî-

ÿííóþ ôóíêöèþ ðèñêà, òî îíî ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàêñíûì.


     Ïðèìåð 5.1     . Ìèíèìàêñíàÿ îöåíêà âåðîÿòíîñòè óñïåøíîãî èñïûòàíèÿ
â ñõåìå Áåðíóëëè. Ïóñòü X = (X1 , . . . , Xn )  ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èíäè-
êàòîðîâ óñïåøíîãî èñïûòàíèÿ, ïðîâîäèìîãî â ðàìêàõ ñõåìû Áåðíóëëè ñ
âåðîÿòíîñòüþ óñïåõà θ. Íàéäåì ìèíèìàêñíóþ îöåíêó ýòîãî ïàðàìåòðà ïðè
íîðìèðîâàííîé êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè ïîòåðü âèäà
                                                     (θ − d)2
                                         L(θ, d) =            .
                                                     θ(1 − θ)

                                                     64

Страницы