Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

n
ˆ
θ
G
( T ) =
1
n
n
X
1
X
i
.
T/n θ ( 1−θ )/n,
R(
ˆ
θ
G
|θ) =
E ( θ −
ˆ
θ
G
( T ))
2
θ ( 1 − θ )
=
θ ( 1 − θ )
n θ ( 1 − θ )
=
1
n
.
θ, T/n
L(θ, d) = (θ − d)
2
,
ˆ
θ( T ) =
T +
√
n/2
n +
√
n/2
.
√
n/2,
θ (θ, σ
2
)
θ,
θ = 0, 5, θ
îòíîñèòåëüíîé ÷àñòîòå óñïåõîâ â n èñïûòàíèÿõ Áåðíóëëè:
                                         n
                                       1 X
                          θ̂ G ( T ) =     Xi .
                                       n 1

Äèñïåðñèÿ ñòàòèñòèêè T /n ðàâíà θ ( 1 − θ )/n, òàê ÷òî ôóíêöèÿ ðèñêà ýòîé
îöåíêè
                         E ( θ − θ̂ G ( T ))2    θ(1 − θ)  1
           R(θ̂ G | θ) =                      =           = .
                             θ(1 − θ)           nθ(1 − θ) n
Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ ðèñêà íå çàâèñèò îò θ, òî T /n  ìèíèìàêñíàÿ îöåíêà.


  Åñëè â êà÷åñòâå ôóíêöèè ïîòåðü âçÿòü îáû÷íóþ êâàäðàòè÷íóþ ôóíêöèþ
L(θ, d) = (θ − d)2 , òî ìèíèìàêñíàÿ îöåíêà áóäåò èìåòü âèä
                                          √
                                       T + n/2
                             θ̂( T ) =    √    .
                                       n + n/2
Äëÿ òîãî ÷òîáû äîêàçàòü ýòî, âîçüìèòå â êà÷åñòâå àïðèîðíîãî ðàñïðåäå-
                                                                √
ëåíèÿ áåòà-ðàñïðåäåëåíèå ñ îäèíàêîâûìè ïàðàìåòðàìè, ðàâíûìè         n/2, è
ñäåëàéòå âû÷èñëåíèÿ, àíàëîãè÷íûå ïðèâåäåííûì âûøå.

  Ìåòîä íàõîæäåíèÿ ìèíèìàêñíûõ îöåíîê, êîòîðûé äàåò óòâåðæäåíèå Òå-
îðåìû 5.1, òðåáóåò ñóùåñòâîâàíèÿ íàèìåíåå áëàãîïðèÿòíîãî (ñîáñòâåííî-
ãî!) àïðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, è åñëè òàêîâîãî íå ñóùåñòâóåò, òî ìåòîä íå
ïðèìåíèì. Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, ïðîáëåìó ìèíèìàêñíîé îöåíêè ñðåäíåãî
çíà÷åíèÿ θ íîðìàëüíîãî (θ, σ 2 ) ðàñïðåäåëåíèÿ. Èíòóèòèâíî ìû îñîçíàåì,
÷òî äëÿ ïàðàìåòðà ñäâèãà íå ñòîèò îòäàâàòü ïðåäïî÷òåíèå êàêîìó-ëèáî îò-
äåëüíîìó çíà÷åíèþ θ, â òî âðåìÿ êàê â ïðèìåðå 5.1 â áîëüøåé ñòåïåíè îùó-
ùàëàñü íåîáõîäèìîñòü êîíöåíòðèðîâàíèÿ àïðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ îêîëî
çíà÷åíèÿ âåðîÿòíîñòè óñïåõà θ = 0, 5,  ïðè ýòîì çíà÷åíèè θ áèíîìèàëü-
íîå ðàñïðåäåëåíèå èìååò íàèáîëüøóþ äèñïåðñèþ. Ñîáñòâåííî, ýòà ñìóòíàÿ
äîãàäêà ïîëó÷èëà ñâîå ïîäòâåðæäåíèå â çàäà÷å, êîòîðàÿ ïðåäëîæåíà äëÿ
ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ â êîíöå ïðèìåðà 5.1.  ñëó÷àå æå ïàðàìåòðà
ñäâèãà ðàâíîìåðíîñòü íàèìåíåå áëàãîïðèÿòíîãî àïðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
ñòàíîâèòñÿ ïî÷òè î÷åâèäíîé. Íî îáëàñòü âîçìîæíûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà
ñäâèãà åñòü âñÿ ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ, è îíà íå ìîæåò áûòü íîñèòåëåì ñîáñòâåí-
íîãî ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïîýòîìó ñëåäóåò îáîáùèòü ìåòîä Òåîðå-

                                   66

Страницы