Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

X = (X
1
, . . . , X
n
)
n (θ, σ
2
)
X θ
L(θ, d) =
0, |θ − d) | 6 ∆,
1, |θ − d) | > ∆.
(θ, σ
2
/n), X
R( X |θ) = P ( |X − θ | > ∆ ) = 2
1 − Φ
∆
√
n
σ

. (5.4)
µ
m
= 0 σ
m
= m, m = 1, 2, . . . . §
ϑ
M =
n X σ
−2
+ µ τ
−2
nσ
−2
+ τ
−2
S
2
=
1
nσ
−2
+ τ
−2
,
(0, m)
M =
X
1 + σ
2
/(n m)
S
2
=
σ
2
n + σ
2
/m
.
|ϑ − d | > ∆.
M,
M θ,
<( M |X) = P ( |ϑ − M | > ∆ |X) = 2
1 − Φ
∆
S

.
X,
m → ∞
σ
2
/n X, m → ∞
  Ïðèìåð 5.2   . Ìèíèìàêñíàÿ îöåíêà ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ íîðìàëüíîãî ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ. Ïóñòü X = (X1 , . . . , Xn )  ñëó÷àéíàÿ âûáîðêà ôèêñèðîâàííîãî
îáúåìà n èç íîðìàëüíîãî (θ, σ 2 ) ðàñïðåäåëåíèÿ. Äîêàæåì, ÷òî âûáîðî÷íîå
ñðåäíåå X åñòü ìèíèìàêñíàÿ îöåíêà θ ïðè ôóíêöèè ïîòåðü òèïà 1 0:
                                    
                                     0, åñëè | θ − d) | 6 ∆,
                        L(θ, d) =
                                     1, åñëè | θ − d) | > ∆.

  Ïîñêîëüêó âûáîðî÷íîå ñðåäíåå èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðà-
ìåòðàìè (θ, σ 2 /n), òî ôóíêöèÿ ðèñêà îöåíêè X ïðè âûáðàííîé ôóíêöèè
ïîòåðü ðàâíà
                                                                  √ 
                                                                   ∆ n
          R( X | θ) = P ( | X − θ | > ∆ ) = 2            1−Φ             .           (5.4)
                                                                    σ
  Ââåäåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íîðìàëüíûõ àïðèîðíûõ ðàñïðåäåëåíèé ñ îäè-
íàêîâûìè ñðåäíèìè µm = 0 è äèñïåðñèÿìè σm = m, m = 1, 2, . . . . Â § 4
ïðè èçó÷åíèè ìîäåëè NN áûëî ïîêàçàíî, ÷òî àïîñòåðèîðíîå ðàñïðåäåëå-
íèå ϑ åñòü íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè
                       n X σ −2 + µ τ −2                          1
               M   =                            è   S
                                                     2
                                                         =                ,
                         nσ −2 + τ −2                        nσ −2 + τ −2
êîòîðûå äëÿ ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ íîðìàëüíîãî (0, m) àïðèîðíîãî ðàñïðåäåëå-
íèÿ ïðèíèìàþò âèä
                           X                               σ2
                   M=      2
                                            è        2
                                                    S =            .
                      1 + σ /(n m)                      n + σ 2 /m
  Àïîñòåðèîðíûé ðèñê ïðè ôóíêöèè ïîòåðü 1 0 ðàâåí àïîñòåðèîðíîé âå-
ðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ | ϑ − d | > ∆. Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè íîðìàëü-
íîãî àïîñòåðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî àïîñòåðè-
îðíîãî ñðåäíåãî M, òî, êàê è â ñëó÷àå êâàäðàòè÷íûõ ïîòåðü, àïîñòåðèîðíîå
ñðåäíåå M åñòü áàéåñîâñêàÿ îöåíêà θ, àïîñòåðèîðíûé ðèñê êîòîðîé
                                                                          
                                                                        ∆
          <( M | X) = P ( | ϑ − M | > ∆ | X) = 2             1−Φ                 .
                                                                        S

Òàê êàê àïîñòåðèîðíûé ðèñê íå çàâèñèò îò X, òî îí ðàâåí àïðèîðíîìó
ðèñêó, à ïîñêîëüêó àïîñòåðèîðíàÿ äèñïåðñèÿ ïðè m → ∞ ñõîäèòñÿ ê äèñ-
ïåðñèè σ 2 /n âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî X, òî àïðèîðíûé ðèñê ïðè m → ∞

                                           68

Страницы