Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

{G
n
, n = 1, 2, . . .}
R
n
= R
G
n
(ϕ
G
n
)
G
n
. n → ∞
R.
{G
n
, n = 1, 2, . . .}
R
G
, G,
R
G
6 R.
{G
n
}
{R
n
}
R.
ϕ
θ∈Θ
R( ϕ |θ) = R, (5.3)
ϕ
G
G
n
ϕ
0
θ∈Θ
R( ϕ
0
|θ) >
Z
Θ
R( ϕ
0
|θ) d G
n
(θ) >
Z
Θ
R( ϕ
G
n
|θ) d G
n
(θ) = R
n
.
n = 1, 2, . . . ,
θ∈Θ
R( ϕ
0
|θ) > lim
n→∞
R
n
= R =
θ∈Θ
R( ϕ |θ).
ϕ
G
R
G
=
Z
Θ
R( ϕ
G
|θ) d G(θ) 6
Z
Θ
R( ϕ |θ) d G(θ) 6
θ∈Θ
R( ϕ |θ) = R,
G
n
2
ìû 5.1 íà ñëó÷àé íåñîáñòâåííûõ íàèìåíåå áëàãîïðèÿòíûõ ðàñïðåäåëåíèé,
ââîäÿ èõ êàê ïðåäåëû âåðîÿòíîñòíûõ ìåð.
     Ïóñòü {Gn , n = 1, 2, . . .}  ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñîáñòâåííûõ àïðèîðíûõ
ðàñïðåäåëåíèé è Rn = R Gn (ϕ Gn )  áàéåñîâñêèé ðèñê, ñîîòâåòñòâóþùèé
Gn . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü áàéåñîâñêèõ ðèñêîâ ïðè n → ∞
èìååò íåêîòîðûé êîíå÷íûé ïðåäåë R.
     Îïðåäåëåíèå 5.3.                 Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü àïðèîðíûõ ðàñïðåäåëåíèé
{Gn , n = 1, 2, . . .} íàçûâàåòñÿ íàèìåíåå áëàãîïðèÿòíîé, åñëè áàéåñîâñêèé
ðèñê R G , ñîîòâåòñòâóþùèé ëþáîìó àïðèîðíîìó ðàñïðåäåëåíèÿ G, óäî-
âëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó R G 6 R.
     Òåîðåìà 5.2. Ïóñòü               {Gn }      ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñîáñòâåííûõ àïðèîð-

íûõ ðàñïðåäåëåíèé, äëÿ êîòîðûõ áàéåñîâñêèå ðèñêè                               {Rn }   èìåþò êîíå÷íûé

ïðåäåë      R.    Åñëè äëÿ ôóíêöèè ðèñêà íåêîòîðîãî ïðàâèëà ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ

ϕ    èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî


                                              sup R( ϕ | θ) = R,                                   (5.3)
                                              θ∈Θ

òî    (i)   ïðàâèëî        ϕG    ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàêñíûì,               ( ii )   ïîñëåäîâàòåëüíîñòü    Gn
íàèìåíåå áëàãîïðèÿòíà.

     Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. ( i ) Ïóñòü ϕ 0  ëþáîå äðóãîå ïðàâèëî ïðèíÿòèÿ
ðåøåíèÿ. Òîãäà
                                 Z                             Z
                       0                  0
        sup R( ϕ | θ) >              R( ϕ | θ) d Gn (θ) >           R( ϕ Gn | θ) d Gn (θ) = Rn .
        θ∈Θ                      Θ                              Θ
Ïîñêîëüêó ýòî íåðàâåíñòâî ñïðàâåäëèâî ïðè ëþáîì n = 1, 2, . . . , òî â ñèëó
óñëîâèÿ (5.3)

                           sup R( ϕ 0 | θ) > lim Rn = R = sup R( ϕ | θ).
                           θ∈Θ                  n→∞                  θ∈Θ

Ñëåäîâàòåëüíî, ϕ  ìèíèìàêñíîå ïðàâèëî.
     ( ii ) Ïóñòü G  ëþáîå àïðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå. Òîãäà â ñèëó óñëîâèÿ
(5.3)
                  Z                                 Z
       RG =            R( ϕ G | θ) d G(θ) 6             R( ϕ | θ) d G(θ) 6 sup R( ϕ | θ) = R,
                   Θ                                Θ                           θ∈Θ

òàê ÷òî ïî îïðåäåëåíèþ 5.3 ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Gn íàèìåíåå áëàãîïðèÿò-
íà.           2

                                                        67

Страницы