Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ϕ
θ.
d,
ˆ
θ =
ˆ
θ(T )
T =
P
n
1
X
i
,
<(d |T ) =
1
p
G
(T )
1
Z
0
L(θ, d) p ( T |θ ) g(θ)dθ,
g ( θ ), θ ∈ (0, 1),
T
p
G
(t) = P ( T = t ) =
1
Z
0
p ( t |θ ) g(θ)dθ =
1
Z
0
C
t
n
θ
t
(1 − θ)
n−t
dθ =
C
t
n
· B(t + 1, n − t + 1).
ϑ
t + 1 n − t + 1,
<(d |T ) =
1
B( t + 1, n − t + 1 )
1
Z
0
(θ − d)
2
θ ( 1 − θ )
θ
t
(1 − θ)
n−t
dθ =
B( t, n − t )
B( t + 1, n − t + 1 )
1
B( t, n − t )
1
Z
0
(θ − d)
2
θ
t−1
(1 − θ)
n−t−1
dθ
.
d,
t n −t.
θ
ˆ
θ
G
( t ) =
1
B( t, n − t )
1
Z
0
θ · θ
t−1
(1 − θ)
n−t−1
dθ =
B( t + 1, n − t )
B( t, n − t )
=
t
n
.
  Âûáåðåì â êà÷åñòâå àïðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ϕ ðàâíîìåðíîå ðàñïðå-
äåëåíèå íà èíòåðâàëå (0, 1) è ïîñòðîèì áàéåñîâñêîå ïðàâèëî ïðèíÿòèÿ ðå-
øåíèÿ îòíîñèòåëüíî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà θ.
  Òàê êàê ôóíêöèÿ ïîòåðü âûïóêëà ïî d, òî áàéåñîâñêîå ïðàâèëî íå áóäåò
ðàíäîìèçèðîâàííûì è áóäåò èìåòü âèä íåêîòîðîé ñòàòèñòèêè θ̂ = θ̂(T )
                                                                      Pn
 ôóíêöèè îò äîñòàòî÷íîé ñòàòèñòèêè T =                                    1   Xi , êîòîðàÿ äîñòàâëÿåò
ìèíèìóì àïîñòåðèîðíîìó ðèñêó
                                                 Z1
                                 1
                  <(d | T ) =                         L(θ, d) p ( T | θ ) g(θ)dθ,
                              p G (T )
                                                 0

ãäå ïëîòíîñòü g ( θ ), θ ∈ (0, 1), ðàâíîìåðíîãî àïðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
îòëè÷íà îò íóëÿ òîëüêî íà èíòåðâàëå (0, 1) è ðàâíà 1 íà ýòîì èíòåðâàëå, à
ìàðãèíàëüíàÿ ïëîòíîñòü ñòàòèñòèêè T
                                       Z1                             Z1
     p G (t) = P ( T = t ) =                p ( t | θ ) g(θ)dθ =           Cnt θ t (1 − θ) n−t dθ =
                                       0                              0

                                      Cnt · B(t + 1, n − t + 1).
Ñëåäîâàòåëüíî, àïîñòåðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå ϑ åñòü áåòà-ðàñïðåäåëåíèå ñ
ïàðàìåòðàìè t + 1 è n − t + 1, òàê ÷òî àïîñòåðèîðíûé ðèñê
                                                       Z1
                             1                                  (θ − d)2 t
       <(d | T ) =                                                       θ (1 − θ) n−t dθ =
                   B( t + 1, n − t + 1 )                       θ (1 − θ)
                                                       0
                                                                                                
                                                        Z1
        B( t, n − t )           1
                                                              (θ − d)2 θ t−1 (1 − θ) n−t−1 dθ  .
    B( t + 1, n − t + 1 ) B( t, n − t )
                                                           0
  Èíòåãðàë â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ äîñòèãàåò ìèíèìóìà ïðè d, ðàâíîì
ñðåäíåìó çíà÷åíèþ áåòà-ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïàðàìåòðàìè t è n − t. Ýòî ñðåä-
íåå ëåãêî âû÷èñëÿåòñÿ è äîñòàâëÿåò áàéåñîâñêóþ îöåíêó âåðîÿòíîñòè θ
óñïåøíîãî èñïûòàíèÿ:
                              Z1
                    1                                                           B( t + 1, n − t )  t
 θ̂ G ( t ) =                         θ · θ t−1 (1 − θ) n−t−1 dθ =                                = .
              B( t, n − t )                                                      B( t, n − t )     n
                              0

  Èòàê, áàéåñîâñêàÿ îöåíêà ïðè ðàâíîìåðíîì àïðèîðíîì ðàñïðåäåëåíèè
ñîâïàäàåò ñ îöåíêîé ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ è åå çíà÷åíèå ðàâíî

                                                      65

Страницы