Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§
θ
θ d
X P = {P ( ·|θ), θ ∈ Θ}
X
µ, p (x |θ) P ( ·|θ)
θ, Θ ⊂ R, θ
D = Θ.
L(θ, d) ϕ θ,
R(ϕ |θ) = E
θ
L(θ, δ(X))
θ
L
P.
L(θ, d), θ ∈ Θ ⊂ R, d ∈ D ⊂ R
               §   6.   Ñòàòèñòè÷åñêèå îöåíêè

          ðàâíîìåðíî ìèíèìàëüíûì ðèñêîì

  6.1. Íåñìåùåííûå îöåíêè ñ ðàâíîìåðíî ìèíèìàëüíîé ôóíêöè-
åé   θ -ðèñêà. Îïòèìàëüíîñòü ïðàâèë ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ, ìåòîäû ïîñòðî-
åíèÿ êîòîðûõ ðàññìàòðèâàëèñü â äâóõ ïðåäûäóùèõ ïàðàãðàôàõ, íîñèëà
ãëîáàëüíûé õàðàêòåð  ìèíèìèçèðîâàëèñü îïðåäåëåííûå ôóíêöèîíàëû
îò ôóíêöèè ðèñêà äëÿ ïðàâèëà ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ â ëþáîé ñòàòèñòè÷å-
ñêîé ïðîáëåìå, îïðåäåëÿåìîé ïðîñòðàíñòâîì ðåøåíèé, ôóíêöèåé ïîòåðü
è âåðîÿòíîñòíîé ìîäåëüþ. Åñëè æå îáðàòèòüñÿ ê çàäà÷å ðàâíîìåðíîé ìè-
íèìèçàöèè ôóíêöèé θ - è d -ðèñêà ïî èõ àðãóìåíòàì, òî çäåñü ïðèõîäèò-
ñÿ ðàññìàòðèâàòü ñòàòèñòè÷åñêèå ïðîáëåìû îöåíêè ïàðàìåòðîâ, ïðîâåðêè
ãèïîòåç è ò.ä. ïî îòäåëüíîñòè. Äàííûé ïàðàãðàô ïîñâÿùåí ðàâíîìåðíîé
(ïî âñåì çíà÷åíèÿì àðãóìåíòà) ìèíèìèçàöèè ôóíêöèè ðèñêà äëÿ ïðàâèë
îöåíêè ñêàëÿðíîãî ïàðàìåòðà, èíäåêñèðóþùåãî ñåìåéñòâî ðàñïðåäåëåíèé
íàáëþäàåìîãî ñëó÷àéíîãî ýëåìåíòà.
  Èòàê, ïóñòü X  ñëó÷àéíàÿ âûáîðêà, P = {P ( · | θ), θ ∈ Θ}  ñòàòèñòè÷å-
ñêàÿ ìîäåëü (ñåìåéñòâî âîçìîæíûõ ðàñïðåäåëåíèé X ), äîìèíèðóåìàÿ ìå-
ðîé µ, è p (x | θ)  ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ P ( · | θ) ïî ýòîé ìåðå.
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó îöåíêè ïàðàìåòðà θ, êîãäà Θ ⊂ R, òî åñòü θ  ñêàëÿð-
íûé ïàðàìåòð, à ïðîñòðàíñòâî ðåøåíèé D = Θ. Åñòåñòâåííî, ðàññìàòðèâà-
åòñÿ çàäà÷à ïîñòðîåíèÿ îïòèìàëüíîé îöåíêè: äëÿ çàäàííîé ôóíêöèè ïîòåðü
L(θ, d) òðåáóåòñÿ ïîòðîèòü ïðàâèëî ϕ îöåíêè çíà÷åíèÿ θ, êîòîðîå ìèíèìè-
çèðóåò âåëè÷èíó ñðåäíèõ ïîòåðü R(ϕ | θ) = Eθ L(θ, δ(X)) (ôóíêöèþ ðèñêà)
îäíîâðåìåííî ïî âñåì çíà÷åíèÿì àðãóìåíòà θ â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ïðà-
âèëà îñòàíîâêè è âûáîðà çàäàíû äî ïðîâåäåíèÿ íàáëþäåíèé.
  Êàê èçâåñòíî èç îáùåãî êóðñà ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè, òàêàÿ çàäà-
÷à íå èìååò ñìûñëà, åñëè íå íàêëàäûâàòü îïðåäåëåííûå îãðàíè÷åíèÿ íà
êëàññ ïðàâèë ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ. Ê ñîæàëåíèþ, ïðèõîäèòñÿ íàêëàäûâàòü
òàêæå ñóùåñòâåííûå îãðàíè÷åíèÿ íà ôóíêöèþ ïîòåðü L è ñòàòèñòè÷åñêèé
ýêñïåðèìåíò P. Çàäà÷à áóäåò ðåøàòüñÿ ïðè ñëåäóþùèõ óñëîâèÿõ.

A. Ôóíêöèÿ ïîòåðü L(θ, d), θ ∈ Θ ⊂ R, d ∈ D ⊂ R åñòü ñòðîãî âûïóêëàÿ


                                     70

Страницы