Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ˆ
θ(X) θ
∗
(T )
T
E
θ
θ
∗
(T ) = E
θ
h
E {
ˆ
θ(X) |Θ }
i
= E
θ
ˆ
θ(X) = θ
θ ∈ Θ. 2
R ( θ
∗
|θ ) 6 R (
ˆ
θ |θ ) θ ∈ Θ.
R ( θ
∗
|θ ) = E
θ
L( θ, E {
ˆ
θ(X) |Θ }) 6 E
θ
h
E {L (θ,
ˆ
θ(X) ) |Θ }
i
=
E
θ
L (θ,
ˆ
θ(X) ) = R (
ˆ
θ |θ ). 2
T
ˆ
θ
1
(X)
ˆ
θ
2
(X) θ,
E
θ
h
ˆ
θ
1
(X) −
ˆ
θ
2
(X)
i
= θ − θ = 0.
E
θ
[ θ
∗
1
(X) − θ
∗
2
(X) ] = E
θ
E
nh
ˆ
θ
1
(X) −
ˆ
θ
2
(X)
i
|T
o
=
E
θ
h
ˆ
θ
1
(X) −
ˆ
θ
2
(X)
i
= 0
θ ∈ Θ. T
θ ∈ Θ
  Ëåììà 6.2. Åñëè      θ̂(X)  íåñìåùåííàÿ îöåíêà, òî åå ïðîåêöèÿ θ∗ (T )                          íà

äîñòàòî÷íóþ     ñòàòèñòèêó T òàêæå îáëàäàåò ñâîéñòâîì íåñìåùåííîñòè.

  Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâî óñëîâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæè-
äàíèÿ: ñðåäíåå îò óñëîâíîãî ñðåäíåãî ðàâíî áåçóñëîâíîìó ñðåäíåìó, ïî-
ëó÷àåì óòâåðæäåíèå Ëåììû:
                                        h                   i
                      ∗
                  Eθ θ (T ) = Eθ            E { θ̂(X) | Θ } = Eθ θ̂(X) = θ

äëÿ âñåõ θ ∈ Θ.            2
  Ëåììà 6.3. Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ A îïåðàöèÿ ïðîåêòèðîâàíèÿ îöåí-
êè íå ïðèâîäèò ê óâåëè÷åíèþ ðèñêà:                   R ( θ∗ | θ ) 6 R ( θ̂ | θ ) äëÿ âñåõ θ ∈ Θ.


  Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Èñïîëüçóÿ íåðàâåíñòâî Éåíñåíà äëÿ óñëîâíîãî ìà-
òåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, à òàêæå ñâîéñòâî óñëîâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæè-
äàíèÿ, êîòîðîå òîëüêî ÷òî èñïîëüçîâàëîñü ïðè äîêàçàòåëüñòâå ïðåäûäóùåé
Ëåììû, ïîëó÷àåì òðåáóåìîå íåðàâåíñòâî:
                                                                h                          i
           ∗
       R ( θ | θ ) = Eθ L( θ, E { θ̂(X) | Θ }) 6 Eθ                 E { L (θ, θ̂(X) ) | Θ } =

                           Eθ L (θ, θ̂(X) ) = R ( θ̂ | θ ).              2


  Ëåììà 6.4. Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ B (äîñòàòî÷íàÿ ñòàòèñòèêà                                  T   ÿâ-

ëÿåòñÿ ïîëíîé) ïðîåêòèðîâàíèå ëþáîé íåñìåùåííîé îöåíêè äàåò îäíó è òó

æå îöåíêó.

  Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü θ̂1 (X) è θ̂2 (X)  íåñìåùåííûå îöåíêè θ, òî
åñòü                            h                       i
                          Eθ        θ̂1 (X) − θ̂2 (X) = θ − θ = 0.
Èñïîëüçóÿ ñíîâà ñâîéñòâî óñëîâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, íàõîäèì,
÷òî                                                    nh                     i    o
           Eθ [ θ1∗ (X)   −    θ2∗ (X) ]    = Eθ E θ̂1 (X) − θ̂2 (X) | T               =
                                   h                    i
                                 Eθ θ̂1 (X) − θ̂2 (X) = 0
ïðè âñåõ θ ∈ Θ. Òàê êàê T  ïîëíàÿ äîñòàòî÷íàÿ ñòàòèñòèêà, òî ðà-
âåíñòâî íóëþ ïðè âñåõ θ ∈ Θ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ îò ñòàòèñòèêè

                                                  72

Страницы