Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

H(θ) = exp{−t
0
/θ)}
t
0
H(θ).
H(X), θ,
H(θ).
X
1
n > 2 :
ˆ
H(X
1
) =
1, X
1
> t
0
,
0, X
1
< t
0
.
E
θ
ˆ
H(X
1
) = P (X
1
> t
0
) = exp{−t
0
/θ)} = H(θ),
T =
P
n
1
X
k
. g(x, t)
X
1
T, g
T
(t)
T X
1
T :
g
X
1
|T
(x |T ) = g(x, T )/g
T
(T ).
H
∗
(T ) = E{
ˆ
H(X
1
) |T } = P {X
1
> t
0
|T } =
Z
∞
t
0
g
X
1
|T
(x |T ) d x. (6.2)
T
g
T
(t) =
1
θ
n
Γ(n)
t
n−1
exp
−
t
θ
.
g(x, t),
h(x, y) X = X
1
Y =
P
n
2
X
k
.
h(x, y) =
1
θ
exp
n
−
x
θ
o
·
1
θ
n−1
Γ(n)
y
n−2
exp
n
−
y
θ
o
=
y
n−2
θ
n
Γ(n − 1)
exp
−
x + y
θ
.
X = X
1
T = X +Y
G(x, t) = P (X < x, X + Y < t) =
Z
x
0
du
Z
t−u
0
h(u, v) dv,
çàòåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ è H(θ) = exp{− t0 /θ)}  íàäåæíîñòü (âåðîÿò-
íîñòü áåçîòêàçíîé ðàáîòû), ñîîòâåòñòâóþùàÿ ãàðàíòèéíîìó ñðîêó ñëóæ-
áû t0 . Ïîñòðîèì ÍÎÌÐ äëÿ ïàðàìåòðè÷åñêîé ôóíêöèè H(θ). Çàìåòèì,
÷òî îöåíêà H(X), îñíîâàííàÿ íà ïîäñòàíîâêå ÍÎÐÌ äëÿ θ, ÿâëÿåòñÿ ñìå-
ùåííîé (ïîïðîáóéòå ïîêàçàòü ýòî). Ïðèõîäèòñÿ èñêàòü äðóãóþ (ïîïðîùå)
íåñìåùåííóþ îöåíêó H(θ).
  Ïðåäëàãàåòñÿ èñïîëüçîâàòü ñîâñåì íèêóäûøíóþ, íî çàòî àðõèïðîñòåé-
øóþ îöåíêó, îñíîâàííóþ íà ïåðâîé êîìïîíåíòå X1 ñëó÷àéíîé âûáîðêè
n>2:                                 
                                      1, åñëè X1 > t0 ,
                         Ĥ(X1 ) =
                                      0, åñëè X1 < t0 .

  Ïîñêîëüêó Eθ Ĥ(X1 ) = P (X1 > t0 ) = exp{− t0 /θ)} = H(θ), òî äàííàÿ
îöåíêà ÿâëÿåòñÿ íåñìåùåííîé; ñïðîåêòèðóåì åå íà äîñòàòî÷íóþ ñòàòèñòèêó
T = n1 Xk . Äëÿ ýòîãî íàäî ñíà÷àëà íàéòè ñîâìåñòíóþ ôóíêöèþ g(x, t)
        P

ïëîòíîñòè X1 è T, çàòåì ìàðãèíàëüíóþ ôóíêöèþ ïëîòíîñòè g T (t) ñòàòè-
ñòèêè T è, íàêîíåö, óñëîâíóþ ôóíêöèþ ïëîòíîñòè X1 îòíîñèòåëüíî T :
g X1 | T (x | T ) = g(x, T )/g T (T ). Òîãäà èñêîìàÿ ÍÎÌÐ (ñì. (6.1))
                                                      Z ∞
         ∗
     H (T ) = E{Ĥ(X1 ) | T } = P {X1 > t0 | T } =        g X1 | T (x | T ) d x. (6.2)
                                                       t0
  Èçâåñòíî, ÷òî ñòàòèñòèêà T èìååò ãàììà ðàñïðåäåëåíèå ñ ôóíêöèåé
ïëîòíîñòè                                     
                         T   1     n−1       t
                   g (t) = n      t    exp −     .
                           θ Γ(n)            θ
×òîáû íàéòè ñîâìåñòíóþ ôóíêöèþ ïëîòíîñòè g(x, t), óñòàíîâèì ñíà÷àëà
ñîâìåñòíóþ ôóíêöèþ ïëîòíîñòè h(x, y) íåçàâèñèìûõ ñòàòèñòèê X = X1
      Pn
è Y = 2 Xk . Ïîíÿòíî, ÷òî îíà ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ ôóíêöèé ïëîòíîñòåé
ïîêàçàòåëüíîãî è ãàììà ðàñïðåäåëåíèé:
                     1      n xo         1       n−2
                                                         n yo
          h(x, y) = exp −           · n−1      y     exp −       =
                     θ            θ   θ   Γ(n)               θ
                            y n−2
                                                  
                                            x+y
                                     exp −           .
                       θ n Γ(n − 1)           θ
Òîãäà ñîâìåñòíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñòàòèñòèê X = X1 è T = X +Y
                                            Z x      Z t−u
        G(x, t) = P (X < x, X + Y < t) =         du        h(u, v) dv,
                                                   0        0

                                          74

Страницы