Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

d
d.
R
G
(ϕ |d) d ∈
D.
θ
d
d
ϑ, X
δ = δ(X) :
R
G
(ϕ |d) = E {<(ϕ |X) |δ(X) = d }. (6, 3)
§
d
ϕ. ϑ
ϕ
ϕ
Ψ
G
( D ) =
Z
Θ
Ψ( D |θ) dG(θ), D ∈ C,
Ψ( D |θ), D ∈ C, θ ∈ Θ, ϕ.
ψ
G
(d), d ∈ D,
Ψ
G
( ·) γ
(D, C). d
d ϕ :
ψ
G
(θ |d) =
ψ(d |θ)g( θ )
ψ
G
(d)
, θ ∈ Θ, d ∈ D.
ϕ
∗
d U
D
ϕ
= {d : ψ
G
(d) > 0, d ∈ D }
Ψ
G
( D ), D ∈ C, ϕ d ϕ
∗
d ϕ :
R
G
(ϕ
∗
|d) 6 R
G
(ϕ |d) d ∈ D
ϕ
.
 ïðàêòè÷åñêèõ ïðèëîæåíèÿõ òàêàÿ ôóíêöèÿ ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì
d èíòåðïðåòèðóåòñÿ êàê âåëè÷èíà ñðåäíèõ ïîòåðü ñðåäè òåõ ñòàòèñòè÷åñêèõ
ýêñïåðèìåíòîâ, êîòîðûå çàâåðøèëèñü ïðèíÿòèåì ðåøåíèÿ d.
  Ðàññìîòðèì çàäà÷ó ìèíèìèçàöèè RG (ϕ | d) ðàâíîìåðíî ïî âñåì d ∈
D. Óäèâèòåëüíî, íî ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è íå òðåáóåò ñòîëü îáðåìåíèòåëü-
íûõ óñëîâèé A C, êîòîðûå íàêëàäûâàëèñü ïðè ðàâíîìåðíîé ìèíèìèçà-
öèè ôóíêöèè θ -ðèñêà. Ïî-ñóùåñòâó îïðåäåëÿþùèì óñëîâèåì ñóùåñòâîâà-
íèÿ îöåíîê ñ ðàâíîìåðíî ìèíèìàëüíûì d -ðèñêîì ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâîâàíèå
äîñòàòî÷íûõ ñòàòèñòèê, è òîëüêî. Îñíîâíàÿ èäåÿ ïîñòðîåíèÿ òàêèõ îöåíîê,
êàê è áàéåñîâñêèõ, ñîñòîèò â ïðåäñòàâëåíèè d -ðèñêà ÷åðåç àïîñòåðèîðíûé
ðèñê: ôóíêöèÿ ïîòåðü ñíà÷àëà óñðåäíÿåòñÿ ïî àïîñòåðèîðíîìó ðàñïðåäåëå-
íèþ ϑ, à ïîòîì ïî óñëîâíîìó ðàñïðåäåëåíèþ X îòíîñèòåëüíî ñòàòèñòèêè
(ðåøàþùåé ôóíêöèè) δ = δ(X) :

                    RG (ϕ | d) = E { <(ϕ | X) | δ(X) = d } .             (6, 3)
  Íàïîìíèì íåêîòîðûå îïðåäåëåíèÿ, êîòîðûå ââîäèëèñü â § 1 è îòíîñè-
ëèñü ê àïðèîðíûì è d -àïîñòåðèîðíûì õàðàêòåðèñòèêàì ïðàâèë ïðèíÿòèÿ
ðåøåíèÿ ϕ.  ñëó÷àå íåâûðîæäåííûõ àïðèîðíûõ ðàñïðåäåëåíèé ϑ àïðè-
îðíûé îáðàç ïðàâèëà ϕ (â îáùåì ñëó÷àå, êîãäà óïðàâëåíèå ñòàòèñòè÷åñêèì
ýêñïåðèìåíòîì íå çàäàíî, òî ñòðàòåãèè ϕ ) îïðåäåëÿëñÿ êàê
                                  Z
                    ΨG ( D ) =  Ψ( D | θ) dG(θ), D ∈ C,
                              Θ
ãäå Ψ( D | θ), D ∈ C, θ ∈ Θ,  îáðàç ϕ. Àïðèîðíîìó îáðàçó ñîîòâåòñòâî-
âàëà àïðèîðíàÿ îïåðàòèâíàÿ õàðàêòåðèñòèêà ψG (d), d ∈ D,  ôóíêöèÿ
ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ΨG ( · ) ïî ìåðå γ íà èçìåðèìîì ïðîñòðàíñòâå
ðåøåíèé (D, C). Îïðåäåëÿëèñü òàêæå d -àïîñòåðèîðíûé îáðàç è ñîîòâåò-
ñòâóþùàÿ åìó d -àïîñòåðèîðíàÿ îïåðàòèâíàÿ õàðàêòåðèñòèêà ϕ :
                         ψ(d | θ)g( θ )
                   ψG (θ | d) =         , θ ∈ Θ, d ∈ D.
                            ψG (d)
  Îïðåäåëåíèå 6.2. Ïðàâèëî ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ ϕ∗ íàçûâàåòñÿ ïðàâè-
ëîì, ðàâíîìåðíî ìèíèìèçèðóþùèì d -ðèñê (â äàëüíåéøåì êîðîòêî: U -
ïðàâèëîì), åñëè íà íîñèòåëå Dϕ = { d :             ψG (d) > 0, d ∈ D } îáðàçà
ΨG ( D ), D ∈ C, ëþáîãî ïðàâèëà ϕ            d -ðèñê ϕ∗ íå áîëüøå d -ðèñêà ϕ :
RG (ϕ∗ | d) 6 RG (ϕ | d) äëÿ âñåõ d ∈ Dϕ .

                                       76

Страницы