Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§
<(ϕ |X) =
Z
Θ
Z
D
L(θ, a) ϕ(da |X)
h (θ |X) d χ(θ).
U
<(ϕ |X)
ϕ( ·|X) :
<(d |X) =
Z
Θ
L(θ, d) h (θ |X) d χ(θ).
d ∈ D. X = x
<(d |x)
d x.
U d ∈
D X(d) x ∈ X,
<(d |x). K(d) ϕ,
d x ∈ X(d).
<(d |x) X(d),
{x : δ(x) = d } = {x : ϕ(D |x) > 0; ∀ D ∈
C, D ⊇ d }, δ(X) ϕ ∈ K(d).
d
R
G
(ϕ |d) = min
x∈X
<(d |x) (6.4)
d ∈ D
ϕ
.
ϕ ∈ K(d)
d ϕ d.
ϕ
∗
∈ K(d), ϕ
d ∈ D
ϕ
R
G
(ϕ
∗
|d) 6 R
G
(ϕ |d).
d ˜ϕ
R
G
( ˜ϕ |d) 6 R
G
(ϕ |d) (6.5)
ϕ d ∈ D
ϕ
, ϕ
∗
∈ K(d),
P
G
{˜ϕ(D |X) 6= ϕ
∗
(D |X) } = 0
     Â § 4 àïîñòåðèîðíûé ðèñê îïðåäåëÿëñÿ êàê
                                 Z Z                             
                <(ϕ | X) =                  L(θ, a) ϕ(da | X)         h (θ | X) d χ(θ).
                                  Θ     D
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ U -ïðàâèë áóäåò óäîáíåå èñïîëüçîâàòü äðóãîé âàðèàíò àïî-
ñòåðèîðíîãî ðèñêà, â êîòîðîì ïî ñðàâíåíèþ ñ <(ϕ | X) íå îñóùåñòâëÿåòñÿ
óñðåäíåíèå ïîòåðü ïî ðàñïðåäåëåíèþ ϕ( · | X) :
                                            Z
                             <(d | X) =            L(θ, d) h (θ | X) d χ(θ).
                                               Θ
Ýòî áîëåå òðàäèöèîííîå îïðåäåëåíèå àïîñòåðèîðíîãî ðèñêà êàê ñëó÷àéíîé
ôóíêöèè àðãóìåíòà d ∈ D. Ïðè ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè X = x àïîñòåðè-
îðíûé ðèñê <(d | x) ìîæíî òðàêòîâàòü êàê âåëè÷èíó ñðåäíèõ ïîòåðü, åñëè
ðåøåíèå d ïðèíèìàåòñÿ áåç ó÷åòà ïîëó÷åííûõ â ýêñïåðèìåíòå äàííûõ x.
     Ïðèñòóïèì òåïåðü ê ïîñòðîåíèþ U -ïðàâèë. Çàôèêñèðóåì íåêîòîðîå d ∈
D è ïóñòü X(d)  ìíîæåñòâî òî÷åê x ∈ X, íà êîòîðîì äîñòèãàåòñÿ ìèíèìóì
àïîñòåðèîðíîãî ðèñêà <(d | x). Ââåäåì êëàññ K(d) ïðàâèë ϕ, ïðèíèìàþ-
ùèõ ðåøåíèå d ëèøü â òîì ñëó÷àå, êîãäà âûáîðî÷íûå äàííûå x ∈ X(d).
Òàêèì îáðàçîì, àïîñòåðèîðíûé ðèñê <(d | x) ïîñòîÿíåí íà ìíîæåñòâå X(d),
êîòîðîå ñîäåðæèò ìíîæåñòâî { x : δ(x) = d } = { x : ϕ(D | x) > 0; ∀ D ∈
C, D ⊇ d }, ãäå δ(X)  ðåøàþùàÿ ôóíêöèÿ ïðàâèëà ϕ ∈ K(d). Ïîýòîìó
d -àïîñòåðèîðíûé ðèñê òàêîãî ïðàâèëà
                                      RG (ϕ | d) = min <(d | x)                                 (6.4)
                                                       x∈X
äëÿ ëþáîãî d ∈ Dϕ .
     Ïîêàæåì, ÷òî ϕ ∈ K(d) ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì
ìèíèìàëüíîñòè ôóíêöèè d -ðèñêà ϕ â òî÷êå d.
     Òåîðåìà 6.2.          (i)   Åñëè   ϕ∗ ∈ K(d),         òî äëÿ ëþáîãî ïðàâèëà      ϕ   è ëþáîãî

d ∈ Dϕ        âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî


                                      RG (ϕ∗ | d) 6 RG (ϕ | d).
     ( ii )   Åñëè   d -ðèñê   ïðàâèëà    ϕ̃    óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó


                                       RG (ϕ̃ | d) 6 RG (ϕ | d)                                 (6.5)
ïðè ëþáîì        ϕ    è   d ∈ Dϕ ,   òî ñóùåñòâóåò òàêîå ïðàâèëî            ϕ∗ ∈ K(d),    ÷òî


                                 PG {ϕ̃(D | X) 6= ϕ∗ (D | X) } = 0

                                                      77

Страницы