Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

d ∈ D
X(d), x
<(d |x). d
x ∈ X(d).
D ⊆ D,
Z(D) =
\
d∈D
X( d ) 6= ∅.
x ∈ Z d ∈ D
Z.
Y =
[
d∈D
X( d ) = X
X(d) X
U
U
D
Y
U
U
U
θ P =
{P ( ·|θ), θ ∈ Θ} L(θ, d) = ( θ − d )
2
G ϑ.
M(X) = E {ϑ |X }
<(d |X) = E{(ϑ − d)
2
|X } =
E{(ϑ − M(X))
2
+ 2(ϑ −M(X))(M(X) − d) + (d − M(X))
2
|X } =
E{(ϑ − M(X))
2
|X }+ (d − M(X))
2
. (6. 6)
è èõ ïîñòðîåíèå îñóùåñòâëÿåòñÿ ïî ñëåäóþùåé ñõåìå. Äëÿ êàæäîãî d ∈ D
íàõîäèòñÿ ìíîæåñòâî X(d), òî÷êè x êîòîðîãî äîñòàâëÿþò ìèíèìóì àïî-
ñòåðèîðíîìó ðèñêó <(d | x). Ðåøåíèå d ïðèíèìàåòñÿ ëèøü â òîì ñëó÷àå,
êîãäà âûáîðî÷íûå äàííûå x ∈ X(d). Ìîæåò îêàçàòüñÿ, ÷òî ñóùåñòâóåò ïîä-
ìíîæåñòâî D ⊆ D, äëÿ êîòîðîãî
                                      \
                         Z(D) =                X( d )   6= ∅.
                                     d∈D

 òàêîì ñëó÷àå ïðè x ∈ Z ïðèíèìàåòñÿ ëþáîå èç ðåøåíèé d ∈ D â ñî-
îòâåòñòâèè ñ ïðîèçâîëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì (ðàíäîìèçèðîâàííûì ïðàâè-
ëîì), íîñèòåëåì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî Z. Åñëè
                                    [
                            Y   =         X( d )   =X
                                    d∈D

(îáúåäèíåíèå ìíîæåñòâ X(d) ñîâïàäàåò ñ âûáîðî÷íûì ïðîñòðàíñòâîì X ),
òî, ñëåäóÿ óêàçàííîìó âûøå ïîñòðîåíèþ, âñåãäà ìîæíî íàéòè U -ïðàâèëî;
â ïðîòèâíîì ñëó÷àå U -ïðàâèë íå ñóùåñòâóåò.
  Óòâåðæäåíèÿ Òåîðåìû 6.2 îòíîñÿòñÿ ê ëþáîé ïðîáëåìå ñòàòèñòè÷åñêîãî
âûâîäà. Îäíàêî â çàäà÷àõ ñ êîíå÷íûì ïðîñòðàíñòâîì ðåøåíèé D (ïðîâåð-
êà ãèïîòåç), êàê ïðàâèëî, çà èñêëþ÷åíèåì ïàòîëîãè÷åñêèõ, ïðàêòè÷åñêè
íå èíòåðåñíûõ, ñòàòèñòè÷åñêèõ ìîäåëåé, ìíîæåñòâî Y ÿâëÿåòñÿ ïóñòûì è
U -ïðàâèë íå ñóùåñòâóåò. Îäíàêî â çàäà÷àõ îöåíêè ïàðàìåòðîâ ïðè íàëè-
÷èè äîñòàòî÷íûõ ñòàòèñòèê U -ïðàâèëà ñóùåñòâóþò è ïðèâåäåííûå íèæå
ïðèìåðû èëëþñòðèðóþò îáùèé ìåòîä èõ ïîñòðîåíèÿ.

  Ïðèìåð 6.2   . U -îöåíêè ïðè êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè ïîòåðü. Ðàññìîò-
ðèì çàäà÷ó îöåíêè ñêàëÿðíîãî ïàðàìåòðà θ â ñòàòèñòè÷åñêîé ìîäåëè P =
{P ( · | θ), θ ∈ Θ} ïðè êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè ïîòåðü L(θ, d) = ( θ − d )2 è
çàäàííîì àïðèîðíîì ðàñïðåäåëåíèè G ñëó÷àéíîãî ïàðàìåòðà ϑ.
  Ïóñòü M (X) = E { ϑ | X }  àïîñòåðèîðíîå ñðåäíåå ïàðàìåòðà. Ïðåäñòà-
âèì àïîñòåðèîðíûé ðèñê â ñëåäóþùåì âèäå:

                      <(d | X) = E{ (ϑ − d)2 | X } =

   E{ (ϑ − M (X))2 + 2(ϑ − M (X))(M (X) − d) + (d − M (X))2 | X } =
                  E{ (ϑ − M (X))2 | X } + (d − M (X))2 .             (6. 6)

                                          79

Страницы