Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 80 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

θ
<(d |X) d
ˆ
θ
G
= M(X),
R
G
(
ˆ
θ
G
) = E
G
D{ϑ |X }
P
G
X U
x = X(d) <(d |x)
x. X,
U U
U
θ
ϑ
ϑ
α = T + 1 β = n − T + 1.
α
α + β
α β
(α + β)
2
(α + β + 1)
,
θ
ˆ
θ
G
= (T + 1)/(n + 2).
U T (d)
T.
<(d |T ) =
(T + 1)(n −T + 1)
(n + 2)
2
(n + 3)
+
T
n
− d
2
.
T
T (d)
n − 2 T
(n + 2)
2
(n + 3)
+
2 T
n
2
+
2 d
n
= 0.
d U
δ
U
(T ) =
n
2
2(n + 2)
2
(n + 3)
+ T
1
n
−
n
(n + 2)
2
(n + 3)
.
  Òàêîå ðàçáèåíèå àïîñòåðèîðíîãî ðèñêà íà äâà ñëàãàåìûõ áîëåå íàãëÿä-
íî îáúÿñíÿåò, ïî÷åìó áàéåñîâñêàÿ îöåíêà θ (òî÷êà äîñòèæåíèÿ ìèíèìóìà
<(d | X) ïî d ) åñòü àïîñòåðèîðíîå ñðåäíåå: θ̂ G = M (X), à áàéåñîâñêèé
ðèñê ðàâåí àïðèîðíîé äèñïåðñèè ýòîé îöåíêè:  RG (θ̂ G ) = EG D{ ϑ | X }
(ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå îò àïîñòåðèîðíîé äèñïåðñèè áåðåòñÿ ïî ìàðãè-
íàëüíîìó ðàñïðåäåëåíèþ PG ñëó÷àéíîé âûáîðêè X ). Ïðè ïîñòðîåíèè U -
îöåíêè ïðèõîäèòñÿ èñêàòü òî÷êó x = X(d) äîñòèæåíèÿ ìèíèìóìà <(d | x)
ïî ïåðåìåííîé x. Åñëè àïîñòåðèîðíàÿ äèñïåðñèÿ íå çàâèñèò îò X, òî
U -îöåíêà, î÷åâèäíî, ñîâïàäàåò ñ áàéåñîâñêîé. Èìåííî òàêîé ÿâëÿåòñÿ U -
îöåíêà â ðàìêàõ ìîäåëè NN.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå U -îöåíêà ìîæåò ñó-
ùåñòâåííî îòëè÷àòüñÿ îò áàéåñîâñêîé. Ïîêàæåì ýòî íà ïðèìåðå îöåíêè
âåðîÿòíîñòè θ óñïåøíîãî èñïûòàíèÿ â ñõåìå Áåðíóëëè ïðè ðàâíîìåðíîì
àïðèîðíîì ðàñïðåäåëåíèè ϑ íà èíòåðâàëå (0, 1).
  Â ïðèìåðå 5.1 áûëî óñòàíîâëåíî, ÷òî àïîñòåðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå ϑ
åñòü áåòà-ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè α = T + 1 è β = n − T + 1. Ïî-
ñêîëüêó äëÿ áåòà-ðàñïðåäåëåíèÿ ñðåäíåå è äèñïåðñèÿ ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî
                    α                      αβ
                             è                          ,
                   α+β             (α + β)2 (α + β + 1)
òî áàéåñîâñêàÿ îöåíêà θ ïðè êâàäðàòè÷íûõ ïîòåðÿõ θ̂ G = (T + 1)/(n + 2).
  Ïîñòðîåíèå U -îöåíêè ñîïðÿæåíî ñ ïîèñêîì òî÷êè T (d) äîñòèæåíèÿ ìè-
íèìóìà àïîñòåðèîðíîãî ðèñêà ïî ïåðåìåííîé T. Ïðåäñòàâëåíèå (6. 6) àïî-
ñòåðèîðíîãî ðèñêà â äàííîì ñëó÷àå èìååò âèä
                                                         2
                           (T + 1)(n − T + 1)         T
               <(d | T ) =                    +         −d .
                             (n + 2)2 (n + 3)         n
Äèôôåðåíöèðóÿ ýòî âûðàæåíèå ïî T è ïðèðàâíèâàÿ ïîëó÷åííóþ ïðîèç-
âîäíóþ íóëþ, ïîëó÷àåì, ÷òî T (d) îïðåäåëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ

                         n − 2T         2T    2d
                                      +     +    = 0.
                     (n + 2)2 (n + 3)   n2     n
Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî d äàåò U -îöåíêó:
                          n2
                                                             
                                           1         n
         δU (T ) =                   +T      −                  .
                   2(n + 2)2 (n + 3)       n (n + 2)2 (n + 3)



                                     80

Страницы