Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 78 стр.

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ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

D ∈ C, P
G
X.
ϕ
∗
∈ K(d)
d d,
ψ
∗
G
(d) = 0, R
G
(ϕ
∗
|d) = 0.
ψ
∗
G
(d) > 0,
R
G
(ϕ |d) = E {<(d |X) |δ(X) = d } > min
x∈X
<(d |x) = R
G
(ϕ
∗
|d).
˜ϕ
X(d) = {x : δ
∗
(x) = d },
P
G
X X
˜
X(d) = {x :
˜
δ(x) = d } X(d) P
G
( Y (d) ) = 0, Y (d) =
˜
X(d) \ X(d).
P
G
( Y (d) ) > 0.
R
G
( ˜ϕ |d) > min
x∈X
<(d |x),
˜ϕ
I
A
(x), A ∈ A, x ∈ X, A = X(d) d
R
G
( ˜ϕ |d) = E
n
<(d |X) I
A
(x) |
˜
δ(X) = d
o
+
E
n
<(d |X) I
A
c
(x) |
˜
δ(X) = d
o
>
min
x∈X
<(d |x)
h
E
n
I
A
(x) |
˜
δ(X) = d
o
+ E
n
I
A
c
(x) |
˜
δ(X) = d
oi
=
min
x∈X
<(d |x),
E
n
I
A
c
(x) |
˜
δ(X) = d
o
=
P
G
( Y (d) )
˜
ψ
G
(d)
. 2
U
K =
\
d∈D
K( d ),
ïðè ëþáîì    D ∈ C,   ãäå     PG    ìàðãèíàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå         X.
  Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. ( i ) Òî ÷òî óñëîâèå ϕ∗ ∈ K(d) ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷-
íûì äëÿ ìèíèìàëüíîñòè d -ðèñêà ýòîãî ïðàâèëà â ëþáîé òî÷êå d, äëÿ êî-
òîðîé ψG
       ∗
         (d) = 0, âûòåêàåò èç ðàâåíñòâà (ïî îïðåäåëåíèþ) RG (ϕ∗ | d) = 0.
Åñëè æå ψG
         ∗
           (d) > 0, òî (ñì. (6.3) è (6.4))

       RG (ϕ | d) = E { <(d | X) | δ(X) = d } > min <(d | x) = RG (ϕ∗ | d).
                                                          x∈X

  ( ii ) Ïóñòü ϕ̃  ïðàâèëî, óäîâëåòâîðÿþùåå íåðàâåíñòâó (6.5). Òàê êàê
X(d) = { x : δ ∗ (x) = d }, òî äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íåîáõîäèìîñòè òðåáóåò-
ñÿ óñòàíîâèòü ðàâåíñòâî âåðîÿòíîñòåé (ïî ìàðãèíàëüíîìó ðàñïðåäåëåíèþ
PG ñëó÷àéíîé âûáîðêè X ) ïðèíàäëåæíîñòè X ìíîæåñòâàì X̃(d) = { x :
δ̃(x) = d } è X(d) èëè, ÷òî òî æå, PG ( Y (d) ) = 0, ãäå Y (d) = X̃(d) \ X(d).
   Äîïóñòèì ïðîòèâíîå: PG ( Y (d) ) > 0. Ïîêàæåì, ÷òî òîãäà âûïîëíÿåòñÿ
ñòðîãîå íåðàâåíñòâî
                          RG (ϕ̃ | d) > min <(d | x),
                                               x∈X
îòêóäà ïîëó÷àåì ïðîòèâîðå÷èå: ïðàâèëî ϕ̃ íå óäîâëåòâîðÿåò (6.4), ÷òî
ïðîòèâîðå÷èò (6.5). Äåéñòâèòåëüíî, â òåðìèíàõ èíäèêàòîðíîé ôóíêöèè
IA (x), A ∈ A, x ∈ X, ñîáûòèÿ A = X(d) d -àïîñòðèîðíûé ðèñê
                                n                           o
                 RG (ϕ̃ | d) = E <(d | X) IA (x) | δ̃(X) = d +
                           n                           o
                       E <(d | X) IAc (x) | δ̃(X) = d >
                  h n                    o        n             oi
      min <(d | x) E IA (x) | δ̃(X) = d + E IAc (x) | δ̃(X) = d    =
       x∈X
                                      min <(d | x),
                                      x∈X
ïîñêîëüêó
                     n                        o        PG ( Y (d) )
                 E       I (x) | δ̃(X) = d
                         Ac                        =                .   2
                                                         ψ̃G (d)


  Òàêèì îáðàçîì, U -ïðàâèëà ÿâëÿþòñÿ ïðåäñòàâèòåëÿìè êëàññà
                                             \
                                     K   =         K( d ),
                                             d∈D




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