Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

θ
∗
1
(X) − θ
∗
2
(X)
θ
∗
1
(X) = θ
∗
2
(X). 2
θ
∗
(T ),
T,
θ ∈ Θ;
θ
∗
(T ) = E {
ˆ
θ(X) |T }, (6.1)
ˆ
θ(x) θ.
ˆ
θ(T )
T T
ˆ
θ(T ),
2
θ.
X
h(θ) = E
θ
ξ.
ˆ
θ = X
X = (X
1
, . . . , X
n
)
θ1∗ (X) − θ2∗ (X) âëå÷åò, ÷òî ýòà ñòàòèñòèêà ïî÷òè íàâåðíîå ðàâíà íóëþ, òî
åñòü θ1∗ (X) = θ2∗ (X).     2
  Òåîðåìà 6.1    (ÐàîÁëåêóýëëàÊîëìîãîðîâà).            Åñëè âûïîëíÿþòñÿ óñëî-

âèÿ A C, òî íåñìåùåííàÿ îöåíêà       θ∗ (T ),   çàâèñÿùàÿ òîëüêî îò ïîëíîé äî-

ñòàòî÷íîé ñòàòèñòèêè   T,   äîñòàâëÿåò ìèíèìóì ôóíêöèè ðèñêà ðàâíîìåðíî

ïî âñåì çíà÷åíèÿì àðãóìåíòà     θ ∈ Θ;   îáùèé âèä òàêîé îöåíêè:


                            θ∗ (T ) = E { θ̂(X) | T },                    (6.1)

ãäå θ̂(x)  ëþáàÿ íåñìåùåííàÿ îöåíêà ïàðàìåòðà θ.
  Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Òî, ÷òî ðàâåíñòâî (6.1) îïðåäåëÿåò îáùèé âèä îï-
òèìàëüíîé îöåíêè, íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç Ëåìì 6.4 è 6.3. Åñëè æå
íåêîòîðàÿ íåñìåùåííàÿ îöåíêà θ̂(T ) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé òîëüêî äîñòàòî÷-
íîé ñòàòèñòèêè T , òî åå ïðîåêöèÿ íà T ñîâïàäàåò ñ îöåíêîé θ̂(T ), ÷òî
äîêàçûâàåò ïåðâîå óòâåðæäåíèå òåîðåìû.               2
  Óòâåðæäåíèå Òåîðåìû 6.1 äîñòàâëÿåò äâà ìåòîäà ïîñòðîåíèÿ íåñìåùåí-
íûõ îöåíîê ñ ìèíèìàëüíûì ðèñêîì (â äàëüíåéøåì èñïîëüçóåòñÿ àááðåâèà-
òóðà ÍÎÌÐ). Ïåðâûé ñîñòîèò â òîì, ïîäáèðàåòñÿ ïîäõîäÿùàÿ ôóíêöèÿ îò
äîñòàòî÷íîé ñòàòèñòèêè, êîòîðàÿ îáëàäàåò ñâîéñòâîì íåñìåùåííîñòè. Åñëè
ýòî óäàëîñü ñäåëàòü, òî ìû ðàñïîëàãàåì èñêîìîé îöåíêîé ïàðàìåòðà θ. Íà-
ïðèìåð, âûáîðî÷íîå ñðåäíåå X åñòü íåñìåùåííàÿ îöåíêà ìàòåìàòè÷åñêî-
ãî îæèäàíèÿ íàáëþäàåìîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, òî åñòü ïàðàìåòðè÷åñêîé
ôóíêöèè h(θ) = Eθ ξ. Ñëåäîâàòåëüíî, θ̂ = X åñòü ÍÎÌÐ äëÿ ñðåäíåãî
çíà÷åíèÿ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, âåðîÿòíîñòè óñïåõà â èñïûòàíèÿõ
Áåðíóëëè, ïàðàìåòðà èíòåíñèâíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà, ìàñøòàáíî-
ãî ïàðàìåòðà ïîêàçàòåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Èñïðàâëåííàÿ íà ñìåùåíèå
âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ åñòü ÍÎÌÐ äëÿ äèñïåðñèè íîðìàëüíîãî ðàñïðåäå-
ëåíèÿ.
  Îöåíêà áîëåå ñëîæíûõ ïàðàìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé îñóùåñòâëÿåòñÿ âòî-
ðûì ìåòîäîì  ïðîåêòèðîâàíèåì íåêîòîðîé, äîñòàòî÷íî ïðîñòîé îöåíêè íà
ïîëíóþ äîñòàòî÷íóþ ñòàòèñòèêó.

  Ïðèìåð 6.1   . Îöåíêà íàäåæíîñòè ïðè ïîêàçàòåëüíîì ðàñïðåäåëåíèè
äîëãîâå÷íîñòè. Ïóñòü X = (X1 , . . . , Xn )  ñëó÷àéíàÿ âûáîðêà èç ïîêà-

                                        73

Страницы