Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

d ∈ R.
P = {P ( ·|θ), θ ∈ Θ}
T = T (X).
ϕ θ
E
θ
δ(X) = θ θ ∈ Θ,
δ = δ(X)
ϕ.
ϕ.
x X
ϕ
Z
R
L(θ, a)ϕ( d a |x) > L
θ,
Z
R
a ϕ( d a |x)
.
ˆ
θ(X) =
Z
R
a ϕ( d a |X)
ϕ. 2
θ
∗
(T ) = E {
ˆ
θ(X) |T }
ˆ
θ(X) T = T (X).
T
T
θ,
   (âíèç) ôóíêöèÿ àðãóìåíòà d ∈ R.

B. Ñåìåéñòâî ðàñïðåäåëåíèé      = {P ( · | θ), θ ∈ Θ} îáëàäàåò ïîëíîé
                                    P
   äîñòàòî÷íîé ñòàòèñòèêîé T = T (X).

C. Êëàññ ïðàâèë ϕ îöåíèêè θ îáëàäàåò ñâîéñòâîì íåñìåùåííîñòè:

                          Eθ δ(X) = θ äëÿ âñåõ θ ∈ Θ,

   ãäå δ = δ(X)  ðåøàþùàÿ ôóíêöèÿ (ðàíäîìèçèðîâàííàÿ îöåíêà) ïðà-
   âèëà ϕ.

  Ïîèñê îïòèìàëüíîé îöåíêè íà÷íåì ñ åùå áîëüøåãî ñóæåíèÿ êëàññà ïðà-
âèë ϕ.

  Ëåììà 6.1. Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ A îöåíêà, äîñòàâëÿþùàÿ íàèìåíü-
øåå çíà÷åíèå ôóíêöèè ðèñêà, ÿâëÿåòñÿ íåðàíäîìèçèðîâàííîé.


  Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î íåìåäëåííî ñëåäóåò èç íåðàâåíñòâà Éåíñåíà äëÿ ìà-
òåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ îò âûïóêëûõ ôóíêöèé. Ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàí-
íîì ðåçóëüòàòå x íàáëþäåíèÿ ñëó÷àéíîé âûáîðêè X âåëè÷èíà ñðåäíèõ
ïîòåðü îò ïðèìåíåíèÿ íåêîòîðîãî ïðàâèëà ϕ
               Z                                        Z                   
                    L(θ, a)ϕ( d a | x) > L          θ,       a ϕ( d a | x)       .
                R                                        R

Ñëåäîâàòåëüíî, íåðàíäîìèçèðîâàííàÿ îöåíêà
                                       Z
                             θ̂(X) =        a ϕ( d a | X)
                                        R
ëó÷øå ðàíäîìèçèðîâàííîãî ïðàâèëà ϕ.                          2
  Äëÿ ïîñòðîåíèÿ îïòèìàëüíûõ îöåíîê ïîòðåáóåòñÿ âû÷èñëÿòü èõ óñëîâ-
íîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå îòíîñèòåëüíî äîñòàòî÷íîé ñòàòèñòèêè.

  Îïðåäåëåíèå 6.1.      Îöåíêà θ∗ (T ) = E { θ̂(X) | T } íàçûâàåòñÿ ïðîåêöèåé
îöåíêè θ̂(X) íà äîñòàòî÷íóþ ñòàòèñòèêó T = T (X).

  Ñëåäóåò îñîáî îòìåòèòü ðîëü äîñòàòî÷íîñòè T â îïðåäåëåíèè ïðîåêöèè
îöåíêè. Åñëè T íå ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íîé ñòàòèñòèêîé, òî óñëîâíîå ìàòåìà-
òè÷åñêîå îæèäàíèå áóäåò çàâèñåòü îò ïàðàìåòðà θ, çíà÷åíèå êîòîðîãî íå
èçâåñòíî, òàê ÷òî ïðîåêöèÿ íå ìîæåò ñëóæèòü îöåíêîé ýòîãî çíà÷åíèÿ.


                                           71

Страницы