Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ξ,
(θ, σ
2
) σ
θ
ξ
F = {F ( ·|θ), θ ∈ Θ = R },
F (A |θ) =
1
√
2 π σ
Z
A
exp
−
(x − θ)
2
2 σ
2
dx,
A R.
θ X = (X
1
, . . . , X
ν
)
ϑ,
(µ, τ
2
).
µ τ
G(B) =
1
√
2π τ
Z
B
exp
−
(θ − µ)
2
2 τ
2
dθ, B ∈ B.
n.
P
X
p ( x |θ ) =
√
n
√
2 π σ
exp
−
n(x − θ)
2
2 σ
2
.
X
θ X θ :
p
G
(x) =
Z
+∞
−∞
p ( x |θ ) g(θ) dt =
Z
+∞
−∞
√
n
√
2 π σ
exp
−
n(x − θ)
2
2 σ
2
·
1
√
2π τ
exp
−
(θ − µ)
2
2 τ
2
dθ =
âàòü äëÿ êîíêðåòèçàöèè ñòàòèñòè÷åñêèõ ïðàâèë, ïîëó÷åííûõ â ïðèìåðàõ
4.1  4.2.
    Ìîäåëü N-N.         ñòàòèñòè÷åñêîì ýêñïåðèìåíòå íàáëþäàåòñÿ ïîñëåäîâà-
òåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ êîïèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ, èìåþùåé íîðìàëü-
íîå (θ, σ 2 ) ðàñïðåäåëåíèå; çíà÷åíèå äèñïåðñèè σ èçâåñòíî, à íåèçâåñò-
íîå çíà÷åíèå ñðåäíåãî θ ñîñòàâëÿåò ïðåäìåò ñòàòèñòè÷åñêîãî âûâîäà. Òà-
êèì îáðàçîì, ñåìåéñòâî âîçìîæíûõ ðàñïðåäåëåíèé ξ îïðåäåëÿåòñÿ êàê
F   = { F ( · | θ), θ ∈ Θ = R }, ãäå
                                         (x − θ)2
                               Z                 
                            1
              F (A |θ) = √       exp −              dx,
                           2πσ A           2 σ2
äëÿ ëþáîãî áîðåëåâñêîãî ìíîæåñòâà A íà äåéñòâèòåëüíîé ïðÿìîé R.
  Ïóñòü èçó÷åíèå ïðèðîäû èññëåäóåìîãî îáúåêòà ïðèâåëî ê çàêëþ÷åíèþ,
÷òî çíà÷åíèå θ ïðè íàáëþäåíèè ñëó÷àéíîé âûáîðêè X = (X1 , . . . , Xν )
ÿâëÿåòñÿ ðåàëèçàöèåé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ϑ, ðàñïðåäåëåííîé òàêæå ïî
íîðìàëüíîìó çàêîíó ñ ïàðàìåòðàìè (µ, τ 2 ). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî çíà÷åíèÿ
ïàðàìåòðîâ µ è τ ñòàòèñòèêó èçâåñòíû, òàê ÷òî âòîðàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ âå-
ðîÿòíîñòíîé ìîäåëè ñîñòîèò èç åäèíñòâåííîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
                                    (θ − µ)2
                         Z                  
                     1
            G(B) = √        exp −              dθ, B ∈ B.
                     2π τ B           2 τ2
  Êàê áûëî çàìå÷åíî âûøå, áàéåñîâñêîå ðåøåíèå íå çàâèñèò îò óïðàâëåíèÿ
ñòàòèñòè÷åñêèì ýêñïåðèìåíòîì, ïîýòîìó ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ ðàññìîòðå-
íèåì òîëüêî âûáîðêè ôèêñèðîâàííîãî îáúåìà n.  òàêîì ñëó÷àå ñåìåéñòâî
ðàñïðåäåëåíèé ñëó÷àéíîé âûáîðêè P ðåäóöèðóåòñÿ ê ñåìåéñòâó ðàñïðå-
äåëåíèé äîñòàòî÷íîé ñòàòèñòèêè X (âûáîðî÷íîìó ñðåäíåìó), íîðìàëüíîå
ðàñïðåäåëåíèå êîòîðîé èìååò ôóíêöèþ ïëîòíîñòè
                                √
                                           n(x − θ)2
                                                    
                                  n
                      p(x|θ) = √     exp −             .
                                 2πσ         2 σ2
    Ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè ìàðãèíàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ X âû÷èñëÿåòñÿ ïó-
òåì èíòåãðèðîâàíèÿ ïî θ ñîâìåñòíîé ôóíêöèè ïëîòíîñòè X è θ :
                                     Z   +∞
                          pG (x) =            p ( x | θ ) g(θ) dt =
                                       −∞
           +∞    √
                            n(x − θ)2                 (θ − µ)2
       Z                                                    
                   n                       1
                √     exp −             ·√      exp −            dθ =
        −∞        2πσ         2 σ2         2π τ         2 τ2

                                              52

Страницы