Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

i = 1, 2, . . . . F
i
= {F
i
( ·|θ), θ ∈
Θ} σ
µ
i
, i ∈ I, G =
{G
λ
, λ ∈ Λ} σ χ.
f
i
(x |θ) =
dF
i
dµ
i
(x |θ), x ∈ X
i
, i ∈ I, θ ∈ Θ ; g
λ
(θ) =
dG
λ
dχ
( θ ), θ ∈ Θ, λ ∈ Λ,
f
i
(x |θ) ξ
i
ϑ, i ∈ I, g
λ
( θ )
ϑ λ ∈ Λ.
B
F
i
(A |θ), θ ∈ Θ, A ∈ A i ∈ I, F
i
( ·|·)
{f
i
} {g
λ
} H
λ, i
(A, B), A ∈
A
i
, B ∈ B, ξ
i
θ
h
λ, i
(x, θ) = f
i
(x |θ) g
λ
( θ ), x ∈ X
i
, θ ∈ Θ, λ ∈ Λ,
µ
i
χ, i ∈ I.
θ
θ
d = d
θ
.
θ,
D ×D,
Θ × D. (L)
L(θ, d)
df
= L(d
θ
, d), θ ∈ Θ, d ∈ D.
θ,
θ
i = 1, 2, . . . . Êàæäîå èç ñåìåéñòâ âåðîÿòíîñòíûõ ìåð Fi = {Fi ( · | θ), θ ∈
Θ} ïðåäïîëàãàåòñÿ äîìèíèðîâàííûì ñîîòâåñòâóþùåé σ -êîíå÷íîé ïîëî-
æèòåëüíîé ìåðîé µi , i ∈ I, à ñåìåéñòâî àïðèîðíûõ ðàñïðåäåëåíèé G =
{Gλ , λ ∈ Λ} äîìèíèðîâàííûì σ -êîíå÷íîé ïîëîæèòåëüíîé ìåðîé χ. Ñëå-
äîâàòåëüíî, ñóùåñòâóþò ïðîèçâîäíûå ÐàäîíàÍèêîäèìà
             dFi                                           dGλ
fi (x | θ) =     (x | θ), x ∈ Xi , i ∈ I, θ ∈ Θ ; gλ (θ) =     ( θ ), θ ∈ Θ, λ ∈ Λ,
             dµi                                            dχ
ãäå fi (x | θ) òðàêòóåòñÿ êàê ïëîòíîñòü óñëîâíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ξi îòíî-
ñèòåëüíî ñëó÷àéíîãî ýëåìåíòà ϑ, i ∈ I, à gλ ( θ )  êàê ïëîòíîñòü ìàð-
ãèíàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ϑ ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàíîì λ ∈ Λ. Åñòå-
ñòâåííî, òàêàÿ òðàêòîâêà âîçìîæíà ëèøü ïðè B -èçìåðèìîñòè ôóíêöèé
Fi (A | θ), θ ∈ Θ, ïðè ëþáûõ A ∈ A è i ∈ I, òî åñòü Fi ( · | · ) äîëæíà
áûòü ïåðåõîäíîé âåðîÿòíîñòüþ.
   Äîìèíèðóåìîñòü ñåìåéñòâ ðàñïðåäåëåíèé, îïðåäåëÿþùèõ âåðîÿòíîñòíóþ
ìîäåëü, ïîçâîëÿåò çàäàòü åå ïîñðåäñòâîì ïàðû ñåìåéñòâ ôóíêöèé ïëîòíî-
ñòè {fi } è {gλ } èëè ñåìåéñòâîì ñîâìåñòíûõ ðàñïðåäåëåíèé Hλ, i (A, B), A ∈
Ai ,   B ∈ B, ñëó÷àéíûõ ýëåìåíòîâ ξi è θ ñ ïëîòíîñòÿìè
             hλ, i (x, θ) = fi (x | θ) gλ ( θ ),        x ∈ Xi , θ ∈ Θ, λ ∈ Λ,
ïî ïðÿìîìó ïðîèçâåäåíèþ ìåð µi è χ,                     i ∈ I.
   Ââåäåíèå ïàðàìåòðà θ ñâÿçàíî ñ îñîáîé ñïåöèôèêîé ñòàòèñòè÷åñêîãî âû-
âîäà: åñëè èçâåñòíî èñòèííîå çíà÷åíèå θ (ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé â
ìîìåíò íàáëþäåíèÿ), òî ñòàòèñòèê âñåãäà ìîæåò ïðèíÿòü ïðàâèëüíîå ðå-
øåíèå d = dθ . Ñëåäîâàòåëüíî, ïðîáëåìó ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ âñåãäà ìîæíî
èíòåðïðåòèðîâàòü â òåðìèíàõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà θ, è ýòà îñîáåííîñòü
ñòàòèñòè÷åñêîãî âûâîäà ïîçâîëÿåò çàäàòü ôóíêöèþ ïîòåðü íå íà D × D, à
íà ïðîèçâåäåíèè ïðîñòðàíñòâ Θ × D. Ñîõðàíÿÿ ïðåæíåå îáîçíà÷åíèå (L)
                                                   df
äëÿ ôóíêöèè ïîòåðü, ïîëîæèì L(θ, d) = L(dθ , d), θ ∈ Θ, d ∈ D.
   Ñëåäóåò îñîáî îòìåòèòü, ÷òî ïîñëå ïîñòðîåíèÿ âåðîÿòíîñòíîé ìîäåëè
ôóíêöèÿ ïîòåðü îáû÷íî óòî÷íÿåòñÿ (èëè âîîáùå ââîäèòñÿ èçíà÷àëüíî).
Íàïðèìåð, â çàäà÷å ðàçëè÷åíèÿ äâóõ ñëîæíûõ ãèïîòåç, êàñàþùèõñÿ çíà-
÷åíèÿ ïàðàìåòðà θ, ïåðâîíà÷àëüíàÿ ôóíêöèÿ ïîòåðü òèïà 1 - 0 èíîãäà âè-
äîèçìåíÿåòñÿ è ñòàíîâèòñÿ çàâèñÿùåé îò ðàññòîÿíèÿ ìåæäó θ è ãðàíèöåé,
ðàçäåëÿþùåé ïàðàìåòðè÷åñêèå ãèïîòåçû.

                                               7

Страницы