Краткий курс теоретической механики. Яковенко Г.Н. - 103 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

m
i
h
i
e
r
i
=
3
P
k=1
x
ik
e
k
h
2
i
= r
2
i
− (r
i
, e)
2
1 − α
2
1
= α
2
2
+ α
2
3
1 − α
2
2
= α
2
1
+ α
2
3
1 − α
2
3
= α
2
1
+ α
2
2
I
e
=
X
i
m
i
h
2
i
=
X
i
m
i
©
r
2
i
− (r
i
, e)
2
ª
=
=
X
i
m
i
©¡
x
2
i1
+ x
2
i2
+ x
2
i3
¢
− (x
i1
α
1
+ x
i2
α
2
+ x
i3
α
3
)
2
ª
=
= α
2
1
X
i
m
i
¡
x
2
i2
+ x
2
i3
¢
+ α
2
2
X
i
m
i
¡
x
2
i1
+ x
2
i3
¢
+ α
2
3
X
i
m
i
¡
x
2
i1
+ x
2
i2
¢
−
−2α
1
α
2
X
i
m
i
x
i1
x
i2
− 2α
1
α
3
X
i
m
i
x
i1
x
i3
− 2α
2
α
3
X
i
m
i
x
i2
x
i3
.
e
k
I
1
=
X
i
m
i
¡
x
2
i2
+ x
2
i3
¢
, I
2
=
X
i
m
i
¡
x
2
i1
+ x
2
i3
¢
, I
3
=
X
i
m
i
¡
x
2
i1
+ x
2
i2
¢
, (30.3)
I
12
= I
21
=
P
i
m
i
x
i1
x
i2
, I
13
= I
31
=
P
i
m
i
x
i1
x
i3
,
I
23
= I
32
=
P
i
m
i
x
i2
x
i3
,
(30.4)
e =
3
P
k=1
α
k
e
k
I
e
=
3
X
k=1
I
k
α
2
k
− 2
X
k<l
I
kl
α
k
α
l
. (30.5)
˘α =
α
1
α
2
α
3
(30.6)
˘α
T
=
¡
α
1
α
2
α
3
¢
, ˘α
T
˘α = α
2
1
+ α
2
2
+ α
2
3
, ˘α˘α
T
=
α
2
1
α
1
α
2
α
1
α
3
α
2
α
1
α
2
2
α
2
α
3
α
3
α
1
α
3
α
2
α
2
3
.
ãäå mi  ìàññà ÷àñòèöû òåëà, hi  ðàññòîÿíèå ÷àñòèöû äî îñè e (ðèñ. 30.1).
                                                         P
                                                         3
Ïîëîæåíèå ÷àñòèöû â òåëå îïðåäåëèì ðàäèóñâåêòîðîì ri =    xik ek . Ïî òåî-
                                                                                                 k=1
ðåìå Ïèôàãîðà ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî h2i = ri2 − (ri , e)2 (ðèñ. 30.1), ñ ó÷¼òîì
êîòîðîãî è ñëåäñòâèÿ 1 − α12 = α22 + α32 , 1 − α22 = α12 + α32 , 1 − α32 = α12 + α22 èç
(30.1) äëÿ ìîìåíòà èíåðöèè (30.2) âûïîëíÿåòñÿ
                        X            X ©                    ª
                   Ie =     mi h2i =      mi ri2 − (ri , e)2 =
                                    i                 i
                  X         ©¡                     ¢                              ª
              =        mi        x2i1 + x2i2 + x2i3 − (xi1 α1 + xi2 α2 + xi3 α3 )2 =
                   i
              X     ¡           ¢      X ¡            ¢      X ¡            ¢
      = α12       mi x2i2 + x2i3 + α22  mi x2i1 + x2i3 + α32  mi x2i1 + x2i2 −
              i                                 i                                       i
                       X                              X                                     X
           −2α1 α2          mi xi1 xi2 − 2α1 α3                   mi xi1 xi3 − 2α2 α3           mi xi2 xi3 .
                       i                                  i                                 i

Ïîñëå ââåäåíèÿ îáîçíà÷åíèé äëÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè îòíîñèòåëüíî áàçèñíûõ îñåé
ek , ñâÿçàííûõ ñ òåëîì:
       X ¡               ¢       X ¡            ¢       X ¡            ¢
 I1 =      mi x2i2 + x2i3 , I2 =  mi x2i1 + x2i3 , I3 =  mi x2i1 + x2i2 , (30.3)
       i                                   i                                            i

 è öåíòðîáåæíûõ ìîìåíòîâ èíåðöèè:
                        P                             P
            I12 = I21 =   mi xi1 xi2 ,   I13 = I31 =    mi xi1 xi3 ,
                        i              P              i
                                                                                                               (30.4)
                          I23 = I32 =    mi xi2 xi3 ,
                                                              i

 ïîëó÷èì ôîðìóëó äëÿ ìîìåíòà èíåðöèè òâ¼ðäîãî òåëà îòíîñèòåëüíî ïðîèç-
                                P
                                3
âîëüíîé îñè, çàäàííîé îðòîì e =   αk ek :
                                                k=1

                                          3
                                          X                        X
                                   Ie =         Ik αk2 − 2                Ikl αk αl .                          (30.5)
                                          k=1                       k

Страницы