Краткий курс теоретической механики. Яковенко Г.Н. - 105 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

I > 0 1/
√
I < ∞
O
1/
√
I
O
O
I
O
1/
√
I
O
e
1
e
2
e
3
3
X
k=1
I
k
y
2
k
= 1, (30.11)
e
1
e
2
e
3
α
k
e
I
e
=
3
X
k=1
I
k
α
2
k
, (30.12)
e
1
e
2
e
3
O
O
e
3
O
I
13
= 0 I
23
= 0 e
3
O
O
I
1
= I
2
O
C
I I
C
C
                                                                      √
Ïî ïîñòðîåíèþ ïîâåðõíîñòü äîëæíà áûòü îãðàíè÷åííîé (I > 0, 1/ I < ∞), à
åäèíñòâåííîé òàêîé ïîâåðõíîñòüþ âòîðîãî ïîðÿäêà ÿâëÿåòñÿ ýëëèïñîèä [3, ãëà-
âû III, IX]. Òàêèì îáðàçîì, åñëè íà êàæäîé îñè,√ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó O,
îòëîæèòü (â îáå ñòîðîíû) îòðåçîê âåëè÷èíîé 1/ I , òî êîíå÷íûå òî÷êè òàêèõ
îòðåçêîâ ðàñïîëîæàòñÿ íà ïîâåðõíîñòè ýëëèïñîèäà ñ öåíòðîì â òî÷êå O  ýë-
ëèïñîèäà èíåðöèè (ðèñ. 30.2). Îáðàòíî: åñëè äëÿ òî÷êè O èçâåñòåí ýëëèïñîèä
èíåðöèè, òî äëÿ íàõîæäåíèÿ ìîìåíòà èíåðöèè I âîêðóã êîíêðåòíîé îñè íóæ-
íî èçìåðèòü äëèíó îòðåçêà, íà÷àëüíàÿ òî÷êà êîòîðîãî O, √       êîíå÷íàÿ  òî÷êà
ïåðåñå÷åíèÿ îñè ñ ýëëèïñîèäîì. Èçìåðåííàÿ äëèíà ðàâíà 1/ I .
   Âûáîðîì ñâÿçàííîãî ñ òåëîì è ñ íà÷àëîì â òî÷êå O îðòîíîðìèðîâàííîãî áà-
çèñà e1 , e2 , e3 , óðàâíåíèå (30.10) ìîæíî óïðîñòèòü  ïðèâåñòè ê êàíîíè÷åñêîìó
âèäó [3, ãëàâû III, IX]:
                                       X3
                                          Ik yk2 = 1,                     (30.11)
                                  k=1

îðòû e1 , e2 , e3 íàïðàâëåíû ïî îñÿì ñèììåòðèè ýëëèïñîèäà èíåðöèè. Âîçâðàò â
(30.11) ê êîîðäèíàòàì αk îðòà e (ñì. (30.9)) ïðèâîäèò ê ôîðìóëå

                                        3
                                        X
                                 Ie =         Ik αk2 ,                    (30.12)
                                        k=1


ñðàâíåíèå êîòîðîé ñ îáùåé ôîðìóëîé (30.5) ïðèâîäèò ê âûâîäó, ÷òî, åñëè îðòû
e1 , e2 , e3 áàçèñà íàïðàâëåíû ïî îñÿì ñèììåòðèè ýëëèïñîèäà èíåðöèè, òî âñå
öåíòðîáåæíûå ìîìåíòû èíåðöèè (30.4) ðàâíû íóëþ. Âåðíî è îáðàòíîå: åñëè â
íåêîòîðîì áàçèñå âñå öåíòðîáåæíûå ìîìåíòû èíåðöèè (30.4) ðàâíû íóëþ, òî
âîçâðàò îò ôîðìóëû (30.12) ê ôîðìóëå (30.11) ïðèâîäèò ê âûâîäó, ÷òî îðòû
áàçèñà ñîðèåíòèðîâàíû ïî îñÿì ñèììåòðèè ýëëèïñîèäà èíåðöèè.
Îïðåäåëåíèå 30.1. Îñè ñèììåòðèè ýëëèïñîèäà èíåðöèè â òî÷êå O íàçûâàþòñÿ
ãëàâíûìè îñÿìè èíåðöèè â òî÷êå O. Ýêâèâàëåíòíîå îïðåäåëåíèå: ãëàâíûå
îñè èíåðöèè  ýòî êîãäà â îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå, îðèåíòèðîâàííîì ïî
ýòèì îñÿì, âñå öåíòðîáåæíûå ìîìåíòû èíåðöèè (30.4) ðàâíû íóëþ. Îñü (îäíà
îñü), îðèåíòèðîâàííàÿ ïî îðòó e3 , íàçûâàåòñÿ ãëàâíîé îñüþ èíåðöèè â òî÷êå
O, åñëè îíà åñòü îñü ñèììåòðèè ýëëèïñîèäà èíåðöèè èëè ïðè ëþáîì âûáîðå
äâóõ äðóãèõ îñåé âûïîëíÿåòñÿ I13 = 0, I23 = 0. Îäíà e3 èç òð¼õ ãëàâíûõ îñåé
èíåðöèè íàçûâàåòñÿ îñüþ äèíàìè÷åñêîé ñèììåòðèè â òî÷êå O, åñëè ýëëèï-
ñîèä èíåðöèè â òî÷êå O åñòü ýëëèïñîèä âðàùåíèå âîêðóã ýòîé îñè, òî åñòü, äëÿ
ìîìåíòîâ èíåðöèè âîêðóã äâóõ äðóãèõ ãëàâíûõ îñåé âûïîëíÿåòñÿ I1 = I2 . Ïëîñ-
êîñòü, ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ â òî÷êå O îñüþ äèíàìè÷åñêîé ñèììåòðèè, íàçûâàåòñÿ
ýêâàòîðèàëüíîé ïëîñêîñòüþ. Ãëàâíûå îñè èíåðöèè â öåíòðå ìàññ C òåëà íà-
çûâàþòñÿ ãëàâíûìè öåíòðàëüíûìè îñÿìè èíåðöèè.
Òåîðåìà 30.1 (Õ. Ãþéãåíñ, ß. Øòåéíåð). Ìîìåíòû èíåðöèè I , IC îòíîñè-
òåëüíî ïàðàëëåëüíûõ îñåé, îäíà èç êîòîðûõ ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòð ìàññ C òåëà,

                                        105

Страницы