Краткий курс теоретической механики. Яковенко Г.Н. - 108 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

T =
1
2
¡
Ap
2
+ Bq
2
+ Cr
2
¢
. (31.7)
V
i
= [ωωω
ωω
, r
i
]
K
O
=
X
i
[r
i
, m
i
V
i
] =
X
i
m
i
[r
i
, [ωωω
ωω
, r
i
]] =
X
i
m
i
©
ωωω
ωω
(r
i
, r
i
) − r
i
(r
i
, ωωω
ωω
)
ª
.
ωωω
ωω
=
3
P
k=1
ω
k
e
k
r
i
=
3
P
k=1
x
ik
e
k
K
O
e
1
K
1
= (K
O
, e
1
) =
X
i
m
i
©
ω
1
(x
2
i1
+ x
2
i2
+ x
2
i3
) − x
i1
(x
i1
ω
1
+ x
i2
ω
2
+ x
i3
ω
3
)
ª
=
= ω
1
X
i
m
i
(x
2
i2
+ x
2
i3
) − ω
2
X
i
m
i
x
i1
x
i2
− ω
3
X
i
m
i
x
i1
x
i3
= I
1
ω
1
− I
12
ω
2
− I
13
ω
3
.
K
j
K
O
=
3
P
j=1
K
j
e
j
K
1
= I
1
ω
1
− I
12
ω
2
− I
13
ω
3
,
K
2
= I
2
ω
2
− I
21
ω
1
− I
23
ω
3
,
K
3
= I
3
ω
3
− I
31
ω
1
− I
32
ω
2
.
(31.8)
˘
K
O
=
K
1
K
2
K
3
, (31.9)
˘
K
O
=
˘
I ˘ω. (31.10)
K
j
=
∂T
∂ω
j
.
e
1
e
2
e
3
 òàêèõ îáîçíà÷åíèÿõ ôîðìóëà (31.2) äëÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ïðèíèìàåò âèä
                                           1¡ 2             ¢
                                     T =     Ap + Bq 2 + Cr2 .                                   (31.7)
                                           2
   Äëÿ êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà (ìîìåíòà èìïóëüñà, ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâè-
æåíèÿ) ïðè äâèæåíèè òåëà ñ íåïîäâèæíîé òî÷êîé (Vi = [ω               ω , ri ]) ïî ôîðìóëå
(17.1) èìååì ðåçóëüòàò
           X                  X                       X ©                            ª
     KO =     [ri , mi Vi ] =             ω , ri ]] =
                                mi [ri , [ω            mi ω (ri , ri ) − ri (ri , ω ) .
                i                     i                          i

                                                   P
                                                   3                    P
                                                                        3
Ñ èñïîëüçîâàíèåì ðàçëîæåíèé ω =                          ωk ek , ri =         xik ek è ôîðìóë (30.3),
                                                   k=1                  k=1
(30.4) ñïðîåêòèðóåì âåêòîð KO íà íàïðàâëåíèå îðòà e1 :
                     X ©                                                            ª
   K1 = (KO , e1 ) =   mi ω1 (x2i1 + x2i2 + x2i3 ) − xi1 (xi1 ω1 + xi2 ω2 + xi3 ω3 ) =
                           i
        X                            X                       X
 = ω1       mi (x2i2 + x2i3 ) − ω2         mi xi1 xi2 − ω3       mi xi1 xi3 = I1 ω1 − I12 ω2 − I13 ω3 .
        i                             i                      i

Ñêîíñòðóèðîâàâ öèêëè÷åñêèìè ïåðåñòàíîâêàìè èíäåêñîâ äâå äðóãèå ïðîåê-
                                              P3
öèè, ïîëó÷èì êîýôôèöèåíòû Kj ðàçëîæåíèÿ KO =     Kj ej êèíåòè÷åñêîãî ìî-
                                                                        j=1
ìåíòà ïî îðòàì îðòîíîðìèðîâàííîãî áàçèñà, ñâÿçàííîãî ñ òåëîì:

                                     K1 = I1 ω1 − I12 ω2 − I13 ω3 ,
                                     K2 = I2 ω2 − I21 ω1 − I23 ω3 ,                              (31.8)
                                     K3 = I3 ω3 − I31 ω1 − I32 ω2 .
Åñëè îòíîñèòüñÿ ê êèíåòè÷åñêîìó ìîìåíòó êàê ê ïðÿìîóãîëüíîé ìàòðèöå
                                     
                                     K1
                              K̆O = K2  ,                       (31.9)
                                     K3

òî c èñïîëüçîâàíèåì ìàòðèö (30.7), (31.3), (31.9) ðåçóëüòàò (31.8) ìîæíî çàïè-
ñàòü â ñëåäóþùåì âèäå:
                                 K̆O = I˘ω̆.                           (31.10)
Ñðàâíåíèå ôîðìóë (31.2) è (31.8) ïðèâîäèò åù¼ ê îäíîìó, ñêîðåå êóðü¼çíîìó
ðåçóëüòàòó:
                                      ∂T
                                Kj =      .
                                      ∂ωj
   Åñëè îðòû e1 , e2 , e3 áàçèñà íàïðàâëåíû ïî ãëàâíûì îñÿì èíåðöèè (îïðåäåëå-
íèå 30.1), òî â ïðèíÿòûõ îáîçíà÷åíèÿõ äëÿ ìîìåíòîâ èíåðöèé (31.5) îòíîñèòåëü-
íî ýòèõ îñåé è äëÿ ïðîåêöèé óãëîâîé ñêîðîñòè (31.6) íà ýòè îñè êîýôôèöèåíòû

                                                   108

Страницы