Краткий курс теоретической механики. Яковенко Г.Н. - 110 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

O
O e
1
e
2
e
3
V
F
=
dK
O
dt
= M
O
=
3
X
k=1
M
k
e
k
. (32.1)
V
F
F K
O
F e
1
e
2
e
3
F
V
F
= A ˙pe
1
+ B ˙qe
2
+ C ˙re
3
. (32.2)
F
V
F
= [ωωω
ωω
, K
O
],
V
F
= [ωωω
ωω
, K
O
] = (C − B)qre
1
+ (A − C)pre
2
+ (B − A)pqe
3
. (32.3)
V
F
= V
F
+ V
F
A ˙p + (C − B)qr = M
1
,
B ˙q + (A − C)pr = M
2
,
C ˙r + (B −A)pq = M
3
.
(32.4)
M
k
M
O
A ˙p + (C − B)qr = M
1
(t, ψ, θ, ϕ, p, q, r),
B ˙q + (A − C)pr = M
2
(t, ψ, θ, ϕ, p, q, r),
C ˙r + (B −A)pq = M
3
(t, ψ, θ, ϕ, p, q, r),
˙
ψ = (p sin ϕ + q cos ϕ)
1
sin θ
,
˙
θ = p cos ϕ −q sin ϕ,
˙ϕ = (p sin ϕ + q cos ϕ)ctgθ.
(32.5)
Ÿ 32. ÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÈÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÝÉËÅÐÀ

Òâ¼ðäîå òåëî ñîâåðøàåò äâèæåíèå ñ íåïîäâèæíîé òî÷êîé O (ðèñ. 30.1). Ïðåä-
ïîëàãàåì, ÷òî â òî÷êå O çàäàí ñâÿçàííûé ñ òåëîì îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ e1 ,
e2 , e3 , êàæäûé îðò êîòîðîãî íàïðàâëåí ïî ãëàâíîé îñè èíåðöèè (îïðåäåëåíèå
30.1). Äèíàìè÷åñêèå óðàâíåíèÿ äîëæíû ñâÿçàòü êèíåìàòè÷åñêèå õàðàêòåðèñòè-
êè òåëà è õàðàêòåðèñòèêè âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ íà íåãî. Â îñíîâó ýòîé ñâÿçè
ïîëîæèì çàêîí èçìåíåíèÿ ìîìåíòà èìïóëüñà (êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà) (17.4):
                                        X        3
                             dKO
                        VF =     = MO =     Mk ek .                     (32.1)
                              dt        k=1

Ïðîèçâîäíóþ îò êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà â (32.1) âû÷èñëèì ïî òåîðåìå Ðåçà-
ëÿ (òåîðåìà 1.1) êàê ñêîðîñòü VF êîíå÷íîé òî÷êè F âåêòîðà KO (ðèñ. 30.1).
Òî÷êà F ñîâåðøàåò ñëîæíîå äâèæåíèå (Ÿ 7).  ïîäâèæíîé ñèñòåìå e1 , e2 , e3 â
äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ (Ÿ 2) îïðåäåëåíî (31.11) å¼ îòíîñèòåëüíîå äâèæåíèå.
Ïî êîîðäèíàòàì âû÷èñëÿåòñÿ îòíîñèòåëüíàÿ ñêîðîñòü òî÷êè F :
                         VFîòí = Aṗe1 + B q̇e2 + C ṙe3 .              (32.2)
 ïåðåíîñíîì äâèæåíèè òî÷êà F ïåðåìåùàåòñÿ âìåñòå ñ òåëîì è èìååò ñêîðîñòü
VFïåð = [ω
         ω , KO ], ðàçëîæåíèå (31.12) êîòîðîé ïî áàçèñó âû÷èñëåíî â ïðåäûäóùåì
ïàðàãðàôå
      VFïåð = [ω
               ω , KO ] = (C − B)qre1 + (A − C)pre2 + (B − A)pqe3 .     (32.3)
Äëÿ ñêîðîñòè òî÷êè â ñëîæíîì äâèæåíèè âûïîëíÿåòñÿ VF = VFîòí + VFïåð
(ñì. (7.7)). Ïðîåêòèðóÿ ñ ó÷¼òîì ýòîãî ñîîòíîøåíèÿ è ðàâåíñòâ (32.2), (32.3)
óðàâíåíèå (32.1) íà ãëàâíûå îñè èíåðöèè, ïðèõîäèì ê äèíàìè÷åñêèì óðàâ-
íåíèÿì Ýéëåðà:
                            Aṗ + (C − B)qr = M1 ,
                            B q̇ + (A − C)pr = M2 ,                   (32.4)
                            C ṙ + (B − A)pq = M3 .
Òàê êàê ïðîåêöèè Mk ãëàâíîãî ìîìåíòà MO âíåøíèõ ñèë ìîãóò çàâèñåòü îò ïî-
ëîæåíèÿ òåëà, óðàâíåíèÿ (32.4) â îáùåì ñëó÷àå íå ÿâëÿþòñÿ çàìêíóòûìè. Òðå-
áóåòñÿ äîáàâèòü êèíåìàòè÷åñêèé óðàâíåíèÿ: èç ââåä¼ííûõ ðàíåå  èëè óðàâ-
íåíèÿ Ýéëåðà (26.9) èëè óðàâíåíèÿ (29.5) â ïàðàìåòðàõ Ðîäðèãà Ãàìèëüòîíà.
Íàïðèìåð, ñ ïðèâëå÷åíèåì óãëîâ Ýéëåðà çàìêíóòàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé (26.9),
(32.4) äëÿ íàõîæäåíèÿ äâèæåíèÿ òåëà èìååò ñëåäóþùèé âèä:
                   Aṗ + (C − B)qr = M1 (t, ψ, θ, ϕ, p, q, r),
                   B q̇ + (A − C)pr = M2 (t, ψ, θ, ϕ, p, q, r),
                   C ṙ + (B − A)pq = M3 (t, ψ, θ, ϕ, p, q, r),
                                              1                         (32.5)
                   ψ̇ = (p sin ϕ + q cos ϕ)       ,
                                            sin θ
                   θ̇ = p cos ϕ − q sin ϕ,
                   ϕ̇ = (p sin ϕ + q cos ϕ)ctgθ.

                                       110

Страницы