Краткий курс теоретической механики. Яковенко Г.Н. - 112 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

O
M
O
=
X
i
[r
i
, F
i
] = 0. (33.1)
A ˙p + (C − B)qr = 0,
B ˙q + (A − C)pr = 0,
C ˙r + (B − A)pq = 0.
(33.2)
δA V
i
= ˙r
i
= [ωωω
ωω
, r
i
]
δA =
X
i
(F
i
, dr
i
) =
X
i
(F
i
, V
i
)dt =
X
i
(F
i
, [ωωω
ωω
, r
i
])dt =
=
X
i
(ωωω
ωω
, [r
i
, F
i
])dt = (ωωω
ωω
,
X
i
[r
i
, F
i
])dt = (ωωω
ωω
, M
O
)dt = 0
Ap
2
+ Bq
2
+ Cr
2
= 2T = const,
A
2
p
2
+ B
2
q
2
+ C
2
r
2
= K
2
O
= const.
(33.3)
M
O
= 0 A = B = C
K
O
= Aωωω
ωω
= const ωωω
ωω
= K
O
/A = const
p = const q = const r = const ωωω
ωω
M
O
= 0 A = B 6= C
e
3
e
3
{e
1
, e
2
}
ωωω
ωω
α
Ÿ 33. ÑËÓ×ÀÉ ÝÉËÅÐÀ. ÐÅÃÓËßÐÍÀß ÏÐÅÖÅÑÑÈß Â ÑËÓ×ÀÅ
ÝÉËÅÐÀ

Ñëó÷àé Ýéëåðà ïðåäïîëàãàåò, ÷òî ãëàâíûé ìîìåíò (12.4) âíåøíèõ ñèë îòíîñè-
òåëüíî íåïîäâèæíîé òî÷êè O ðàâåí íóëþ:
                                 X
                          MO =      [ri , Fi ] = 0.                 (33.1)
                                               i

Óðàâíåíèÿ Ýéëåðà (32.4) â ýòîì ñëó÷àå ïðèíèìàþò âèä

                                  Aṗ + (C − B)qr = 0,
                                  B q̇ + (A − C)pr = 0,                                  (33.2)
                                  C ṙ + (B − A)pq = 0.

Äëÿ ýëåìåíòàðíîé ðàáîòû δA âíåøíèõ ñèë ñ ó÷¼òîì (33.1) è Vi = ṙi = [ω  ω , ri ]
âûïîëíÿåòñÿ
                X                X               X
           δA =    (Fi , dri ) =  (Fi , Vi )dt =   (Fi , [ω
                                                          ω , ri ])dt =
                      i                 i                        i
                X                              X
            =        ω , [ri , Fi ])dt = (ω
                    (ω                    ω,                            ω , MO )dt = 0
                                                       [ri , Fi ])dt = (ω
                i                                  i

(â ñìåøàííîì ïðîèçâåäåíèè ñäåëàíà öèêëè÷åñêàÿ ïåðåñòàíîâêà ñîìíîæèòå-
ëåé). Òàêèì îáðàçîì, âñëåäñòâèå (33.1) ñîõðàíÿþòñÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ
(ñì. (18.5)  (18.7)) è âåëè÷èíà êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà (ñì. (17.4)), ÷òî ñ èñ-
ïîëüçîâàíèåì ñîîòíîøåíèé (31.7) è (31.11) çàïèøåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì [9,
ðàçäåë ïåðâûé, ãëàâà IV, Ÿ 15]:

                           Ap2 + Bq 2 + Cr2 = 2T = const,
                                                                                         (33.3)
                          A2 p2 + B 2 q 2 + C 2 r2 = KO2 = const.

Ó òâ¼ðäîãî òåëà â ñëó÷àå Ýéëåðà â çàâèñèìîñòè îò ôîðìû ýëëèïñîèäà èíåðöèè
â íåïîäâèæíîé òî÷êå âîçìîæíû òðè âàðèàíòà äâèæåíèÿ.
   1. MO = 0, A = B = C . Ýëëèïñîèä èíåðöèè  ñôåðà, ëþáàÿ îñü  ãëàâíàÿ
îñü èíåðöèè. Èç (33.1) è (31.13) ñëåäóåò: KO = Aω   ω = const, ω = KO /A = const.
Èç (33.2) ñëåäóåò: p = const, q = const, r = const. Óãëîâàÿ ñêîðîñòü ω ïîñòîÿííà
îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû îòñ÷¼òà è îòíîñèòåëüíî òåëà. Òåëî ðàâíîìåðíî âðàùàåòñÿ
âîêðóã íåïîäâèæíîé îñè.
   2. MO = 0, A = B 6= C . Ýëëèïñîèä èíåðöèè  ýëëèïñîèä âðàùåíèÿ âîêðóã
îñè, ñîîòâåòñòâóþùåé îðòó e3 . Îðò e3 îïðåäåëÿåò îñü äèíàìè÷åñêîé ñèììåòðèè.
Ïëîñêîñòü {e1 , e2 }  ýêâàòîðèàëüíàÿ ïëîñêîñòü (îïðåäåëåíèå 30.1). Ïóñòü òåëó
â íà÷àëå äâèæåíèÿ ñîîáùåíà óãëîâàÿ ñêîðîñòü ω ïîä óãëîì α ê îñè äèíàìè÷å-
ñêîé ñèììåòðèè (ðèñ. 33.1).

                                                   112

Страницы