Краткий курс теоретической механики. Яковенко Г.Н. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

R
r = CP = R(i
1
cos ϕ + i
2
sin ϕ)
ϕ r i
1
d
OP s = Rϕ
ϕ = s/R
τττ
ττ
=
dr
ds
=
dr
dϕ
dϕ
ds
= −i
1
sin ϕ + i
2
cos ϕ.
K =
dτττ
ττ
ds
=
dτττ
ττ
dϕ
dϕ
ds
= −
1
R
(i
1
cos ϕ + i
2
sin ϕ) = −
1
R
n,
ρ n
ρ = R, n = −(i
1
cos ϕ + i
2
sin ϕ).
V =
˙
r = R ˙ϕ(−i
1
sin ϕ + i
2
cos ϕ) = R ˙ϕτττ
ττ
,
V = R ˙ϕ
W =
˙
V = R ¨ϕ(−i
1
sin ϕ + i
2
cos ϕ) − R ˙ϕ
2
(i
1
cos ϕ + i
2
sin ϕ) = R ¨ϕτττ
ττ
+ R ˙ϕ
2
n,
W
τ
= R ¨ϕ W
n
= R ˙ϕ
2
   Ñ ïðèìåíåíèåì äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò ïðîèëëþñòðèðóåì ïîíÿòèÿ, ââåä¼í-
íûå ⠟ 1.
Ïðèìåð 2.1. Òî÷êà P ñîâåðøàåò äâèæåíèå ïî îêðóæíîñòè ðàäèóñà R (ðèñ. 2.2).
Ïîëîæåíèå òî÷êè îïðåäåëÿåò ðàäèóñâåêòîð r = CP = R(i1 cos ϕ + i2 sin ϕ), ãäå
                                             d ðàâíà s = Rϕ, îòêóäà ñëåäóåò
ϕ  óãîë ìåæäó âåêòîðàìè r è i1 . Äëèíà äóãè OP
ðàâåíñòâî ϕ = s/R. Ïî ôîðìóëå (1.1) âû÷èñëÿåòñÿ îðò êàñàòåëüíîé

                            dr   dr dϕ
                      τ =      =       = −i1 sin ϕ + i2 cos ϕ.
                            ds   dϕ ds

Ïî ôîðìóëå (1.3) âû÷èñëÿåòñÿ âåêòîð êðèâèçíû

                     dττ   dττ dϕ    1                         1
               K=        =        = − (i1 cos ϕ + i2 sin ϕ) = − n,
                     ds    dϕ ds     R                         R
îòêóäà ñëåäóþò âûðàæåíèÿ äëÿ ðàäèóñà êðèâèçíû ρ è îðòà íîðìàëè n:

                        ρ = R,     n = −(i1 cos ϕ + i2 sin ϕ).

Ïî ôîðìóëå (1.5) ñêîðîñòü òî÷êè ðàâíà

                     V = ṙ = Rϕ̇(−i1 sin ϕ + i2 cos ϕ) = Rϕ̇ττ ,

à âåëè÷èíà ñêîðîñòè ïðè äâèæåíèè òî÷êè ïî îêðóæíîñòè ðàâíà V = Rϕ̇. Ïî
ôîðìóëå (1.9) óñêîðåíèå òî÷êè ðàâíî

   W = V̇ = Rϕ̈(−i1 sin ϕ + i2 cos ϕ) − Rϕ̇2 (i1 cos ϕ + i2 sin ϕ) = Rϕ̈ττ + Rϕ̇2 n,

à âåëè÷èíû êàñàòåëüíîãî è íîðìàëüíîãî óñêîðåíèé ïðè äâèæåíèè òî÷êè ïî
îêðóæíîñòè ðàâíû Wτ = Rϕ̈, Wn = Rϕ̇2 .




                                          11

Страницы