Краткий курс теоретической механики. Яковенко Г.Н. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

r(t)
r(q)
q q(t)
V(q, ˙q) =
3
X
i=1
∂r(q)
∂q
i
˙q
i
=
3
X
i=1
H
i
(q) ˙q
i
(3.4)
V
2
(q, ˙q)) = (V, V) =
3
X
i, k=1
(H
i
(q), H
k
(q)) ˙q
i
˙q
k
. (3.5)
V
2
(q, ˙q)) =
3
X
i=1
H
2
i
(q) ˙q
2
i
. (3.6)
∂V
∂ ˙q
i
=
∂r
∂q
i
(3.7)
q
i
˙q
i
∂V
∂q
i
=
d
dt
∂r
∂q
i
, (3.8)
q
k
(H
i
, W) =
d
dt
∂
∂ ˙q
i
µ
V
2
(q, ˙q)
2
−
∂
∂q
i
µ
V
2
(q, ˙q)
2
(3.9)
W
(H
i
, W) =
µ
∂r
∂q
i
,
dV
dt
=
d
dt
µ
∂r
∂q
i
, V
−
µ
d
dt
∂r
∂q
i
, V
(3.7),(3.8)
=
=
d
dt
µ
∂V
∂ ˙q
i
, V
−
µ
∂V
∂q
i
, V
=
d
dt
∂
∂ ˙q
i
µ
V
2
2
−
∂
∂q
i
µ
V
2
2
.
íàçûâàþòñÿ îðòîãîíàëüíîé ñèñòåìîé êîîðäèíàò.
   Çàäàòü äâèæåíèå r(t) ìàòåðèàëüíîé òî÷êè â êðèâîëèíåéíûõ êîîðäèíàòàõ
ýòî, âî-ïåðâûõ, çàäàòü ñâÿçü r(q) ïîëîæåíèÿ òî÷êè â ñèñòåìå îòñ÷¼òà ñ êîîðäè-
íàòàìè q , âî-âòîðûõ, îïðåäåëèòü èçìåíåíèå êîîðäèíàò q(t) âî âðåìåíè t. Åñëè
îáå çàâèñèìîñòè çàäàíû, ñêîðîñòü òî÷êè ðàâíà
                                       3
                                       X                   3
                                                           X
                                         ∂r(q)
                          V(q, q̇) =               q̇i =         Hi (q)q̇i          (3.4)
                                       i=1
                                             ∂qi           i=1

 èñïîëüçîâàíî îáîçíà÷åíèå (3.1). Äëÿ âåëè÷èíû ñêîðîñòè èç (3.4) ñëåäóåò
                                              3
                                              X
                      2
                 V (q, q̇)) = (V, V) =                 (Hi (q), Hk (q)) q̇i q̇k .   (3.5)
                                              i, k=1


Äëÿ îðòîãîíàëüíûõ ñèñòåì êîîðäèíàò (ñì. (3.2), (3.3)) ôîðìóëà (3.5) óïðîùà-
åòñÿ:
                                      3
                                      X
                          2
                         V (q, q̇)) =   Hi2 (q)q̇i2 .                  (3.6)
                                               i=1

Èç âûðàæåíèÿ (3.4) ñëåäóåò
                                         ∂V      ∂r
                                               =                                    (3.7)
                                         ∂ q̇i   ∂qi
(qi è q̇i  íåçàâèñèìûå ïåðåìåííûå). Âûðàæåíèå (3.4) âëå÷¼ò òàêæå ôîðìóëó

                                       ∂V    d ∂r
                                           =        ,                               (3.8)
                                       ∂qi   dt ∂qi

äëÿ îáîñíîâàíèÿ êîòîðîé ñðàâíèâàåòñÿ ðåçóëüòàò âû÷èñëåíèÿ ïðîèçâîäíîé ïî
t â ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû (3.8) ñ ðåçóëüòàòîì äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïî qk âûðà-
æåíèÿ (3.4).
   Ñ ó÷¼òîì îáîçíà÷åíèé (1.9), (3.1), ôîðìóë (3.7), (3.8) è ïðàâèëà äèôôåðåí-
öèðîâàíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ âûâåäåì ñîîòíîøåíèå
                                   µ 2        ¶       µ 2        ¶
                          d ∂       V (q, q̇)      ∂   V (q, q̇)
               (Hi , W) =                       −                        (3.9)
                          dt ∂ q̇i     2          ∂qi     2

äëÿ óñêîðåíèÿ W òî÷êè:
                    µ        ¶     µ      ¶ µ           ¶
                      ∂r dV      d ∂r         d ∂r        (3.7),(3.8)
         (Hi , W) =      ,     =        ,V −         ,V       =
                      ∂qi dt     dt ∂qi       dt ∂qi
                 µ           ¶ µ       ¶          µ 2¶      µ 2¶
            d        ∂V          ∂V       d ∂      V      ∂  V
          =                ,V −      ,V =              −         .
            dt       ∂ q̇i       ∂qi      dt ∂ q̇i 2     ∂qi 2

                                              13

Страницы