Краткий курс теоретической механики. Яковенко Г.Н. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

µ
∂V
∂z
, V
=
1
2
∂
∂z
(V, V) =
∂
∂z
µ
V
2
2
.
mW = F
H
i
T (q, ˙q) = mV
2
(q, ˙q)/2 Q
i
= (F, H
i
) = (F, ∂r/∂q
i
)
d
dt
∂T
∂ ˙q
i
−
∂T
∂q
i
= Q
i
(3.10)
W
1
H
i
(H
i
, W) =
1
H
i
½
d
dt
∂
∂ ˙q
i
µ
V
2
(q, ˙q)
2
−
∂
∂q
i
µ
V
2
(q, ˙q)
2
¶¾
. (3.11)
W
i
W =
3
X
i=1
W
i
e
i
e
i
P
r ϕ z
i j k
r = ir cos ϕ + jr sin ϕ + kz. (3.12)
H
r
=
∂r
∂r
= i cos ϕ + j sin ϕ, H
r
= 1,
H
ϕ
=
∂r
∂ϕ
= −ir sin ϕ + jr cos ϕ, H
ϕ
= r,
H
z
=
∂r
∂z
= k, H
z
= 1.
r(t) ϕ(t) z(t)
V = H
r
˙r + H
ϕ
˙ϕ + H
z
˙z.
Ïîñëåäíèé ïåðåõîä åñòü ðåçóëüòàò î÷åâèäíûõ âû÷èñëåíèé (z  íåêîòîðàÿ ïå-
ðåìåííàÿ):        µ        ¶                   µ ¶
                    ∂V         1 ∂           ∂ V2
                        ,V =        (V, V) =        .
                     ∂z        2 ∂z          ∂z 2
     ÷àñòíîñòè, åñëè îáå ÷àñòè âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà mW = F (Ÿ 15) óìíî-
æèòü ñêàëÿðíî íà âåêòîð Hi , ââåñòè îáîçíà÷åíèÿ äëÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè
T (q, q̇) = mV 2 (q, q̇)/2 è äëÿ îáîáù¼ííîé ñèëû Qi = (F, Hi ) = (F, ∂r/∂qi ), òî
ñ ó÷¼òîì ôîðìóëû (3.9) ïîëó÷èì óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà

                                 d ∂T      ∂T
                                         −    = Qi                         (3.10)
                                 dt ∂ q̇i ∂qi
äëÿ ñâîáîäíîé ìàòåðèàëüíîé òî÷êè.
   Ôîðìóëà (3.9) îïðåäåëÿåò òàêæå ïðîåêöèþ óñêîðåíèÿ W íà êàñàòåëüíóþ ê
êîîðäèíàòíîé ëèíèè
                        ½         µ 2        ¶       µ 2        ¶¾
         1            1   d ∂      V (q, q̇)      ∂   V (q, q̇)
           (Hi , W) =                          −                   . (3.11)
        Hi            Hi dt ∂ q̇i     2          ∂qi     2

Äëÿ îðòîãîíàëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò (ñì. (3.3)) âûðàæåíèÿ (3.11) åñòü êîýô-
                                         X3
ôèöèåíòû Wi ðàçëîæåíèÿ óñêîðåíèÿ W =         Wi ei ïî îðòàì ei , ñâÿçàííûì ñ
                                                i=1
êàñàòåëüíûìè ê êîîðäèíàòíûì ëèíèÿì.
   Ïðîèëëþñòðèðóåì ââåä¼ííûå â ýòîì ïàðàãðàôå ïîíÿòèÿ íà ïðèìåðå.
Ïðèìåð 3.1. Íà ðèñ 3.2 ïîëîæåíèå òî÷êè P îïðåäåëåíî öèëèíäðè÷åñêèìè
êîîðäèíàòàìè r, ϕ, z . Ðàäèóñâåêòîð ðàñêëàäûâàåòñÿ ïî îðòîíîðìèðîâàííîìó
áàçèñó i, j, k ñëåäóþùèì îáðàçîì:

                            r = ir cos ϕ + jr sin ϕ + kz.                  (3.12)

 ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëàìè (3.1) è (3.2) âû÷èñëÿþòñÿ âåêòîðû, êàñàòåëüíûå
ê êîîðäèíàòíûì ëèíèÿì, è êîýôôèöèåíòû Ëàìå:

                            ∂r
                     Hr =      = i cos ϕ + j sin ϕ,    Hr = 1,
                            ∂r
                          ∂r
                   Hϕ =      = −ir sin ϕ + jr cos ϕ,        Hϕ = r,
                          ∂ϕ
                                   ∂r
                             Hz =     = k, Hz = 1.
                                   ∂z
Ïî ôîðìóëå (3.4) ñêîðîñòü òî÷êè, äâèæåíèå êîòîðîé çàäàíî öèëèíäðè÷åñêèìè
êîîðäèíàòàìè r(t), ϕ(t), z(t), ðàâíà

                             V = Hr ṙ + Hϕ ϕ̇ + Hz ż.

                                         14

Страницы