Краткий курс теоретической механики. Яковенко Г.Н. - 117 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ωωω
ωω
P
r
P
V
P
= [ωωω
ωω
, r
P
] = 0, r
P
= λωωω
ωω
, (34.3)
r
P
ωωω
ωω
y
1
= λp y
2
= λq y
3
= λr
Ay
2
1
+ By
2
2
+ Cy
2
3
− 1 = λ
2
(Ap
2
+ Bq
2
+ Cr
2
) − 1 = 2λ
2
T − 1 = 0
λ
2
=
1
2T
= const. (34.4)
N P
N = gradf(y) =
µ
∂f
∂y
1
,
∂f
∂y
2
,
∂f
∂y
3
= 2(Ap, Bq, Cr) = 2K
O
= const, (34.5)
P
P
OQ O
OQ =
µ
r
P
,
K
O
K
O
=
λ
K
O
(Ap
2
+ Bq
2
+ Cr
2
) =
2λT
K
O
= const.
O
Òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ýëëèïñîèäà óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω îáîçíà÷èì P , à ðàäèóñ
âåêòîð, ïðîâåä¼ííûé ê íåé rP (ðèñ. 34.1). Îòìåòèì äâà îáñòîÿòåëüñòâà:

                               ω , rP ] = 0,
                         VP = [ω                      ω,
                                                rP = λω                       (34.3)

òî åñòü, äëÿ êîîðäèíàò âåêòîðîâ rP è ω âûïîëíÿåòñÿ y1 = λp, y2 = λq , y3 = λr.
Ïîäñòàíîâêà â (34.2) ñ ó÷¼òîì (33.3)

        Ay12 + By22 + Cy32 − 1 = λ2 (Ap2 + Bq 2 + Cr2 ) − 1 = 2λ2 T − 1 = 0

ïðèâîäèò ê ðàâåíñòâó
                                    1
                                λ2 =  = const.                       (34.4)
                                   2T
Íîðìàëü N ê ýëëèïñîèäó â òî÷êå P ïðåäñòàâëÿåòñÿ âåêòîðîì (ó÷òåíû ðàâåíñòâà
(34.2) è (31.11))
                    µ             ¶
                      ∂f ∂f ∂f
    N = gradf (y) =      ,   ,      = 2(Ap, Bq, Cr) = 2KO = const,   (34.5)
                      ∂y1 ∂y2 ∂y3

òî åñòü, íàïðàâëåíèå íîðìàëè â òî÷êå P ïåðåñå÷åíèÿ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ýë-
ëèïñîèäà íåèçìåííî, à ïëîñêîñòü, êàñàòåëüíàÿ ê ýëëèïñîèäó â òî÷êå P , ïåðå-
ìåùàåòñÿ ïàðàëëåëüíî ñàìà ñåáå. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîêàçàòü, ÷òî ýòà ïëîñêîñòü
íåïîäâèæíà, âû÷èñëèì ðàññòîÿíèå OQ îò íåïîäâèæíîé òî÷êè O äî ïëîñêîñòè
(ðèñ. 34.1, ó÷òåíû ñîîòíîøåíèÿ (34.3), (34.4), (31.6), (31.7), (31.11)):
                  µ       ¶
                       KO      λ                          2λT
            OQ = rP ,       =    (Ap2 + Bq 2 + Cr2 ) =          = const.
                       KO     KO                          KO

   Ãåîìåòðè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ Ïóàíñî çâó÷èò è èçîáðàæàåòñÿ òàê (ðèñ.
34.1).  íà÷àëå äâèæåíèÿ îáðàçóåòñÿ ïëîñêîñòü, êàñàòåëüíàÿ ê ýëëèïñîèäó èíåð-
öèè â òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ ýëëèïñîèäà íà÷àëüíîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ.  äàëüíåé-
øåì ïëîñêîñòü çàíèìàåò íåèçìåííîå ïîëîæåíèå, à ýëëèïñîèä èíåðöèè ñ íåïî-
äâèæíûì öåíòðîì O êàòàåòñÿ ïî íåé áåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ. Î äðóãèõ äåòàëÿõ
êà÷åíèÿ ñêàçàòü ïîíÿòíî íå ìîæåì.




                                       117

Страницы