Краткий курс теоретической механики. Яковенко Г.Н. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ρρρ
ρρ
OB e
1
e
2
e
3
r = r
0
+ ρρρ
ρρ
= r
0
+
3
X
k=1
y
k
e
k
, (4.4)
r
0
(t) e
1
(t) e
2
(t) e
3
(t)
y
1
y
2
y
3
B
B t
V =
˙
r
0
+
˙
ρρρ
ρρ
= V
0
+
3
X
k=1
y
k
˙
e
k
. (4.5)
˙
e
1
˙
e
2
˙
e
3
ωωω
ωω
t
ωωω
ωω
k
˙
e
k
= [ωωω
ωω
, e
k
], k = 1, 2, 3. (4.6)
ωωω
ωω
ωωω
ωω
=
1
2
3
X
i=1
[e
i
,
˙
e
i
]. (4.7)
¤
[ωωω
ωω
, e
k
] =
1
2
3
X
i=1
[[e
i
,
˙
e
i
], e
k
] =
1
2
3
X
i=1
{
˙
e
i
(e
i
, e
k
) − e
i
(
˙
e
i
, e
k
)} =
=
1
2
3
X
i=1
{
˙
e
i
δ
ik
+ (e
i
,
˙
e
k
)e
i
} =
1
2
(
˙
e
k
+
˙
e
k
) =
˙
e
k
.
a =
3
X
i=1
a
i
e
i
=
3
X
i=1
(e
i
, a)e
i
ωωω
ωω
1
ωωω
ωω
2
ωωω
ωω
1
ωωω
ωω
2
[ωωω
ωω
1
−ωωω
ωω
2
, e
k
] = 0, k = 1, 2, 3,
ωωω
ωω
1
ωωω
ωω
2
¥
ðàäèóñâåêòîðà ρ=OB ïî îðòàì e1 , e2 , e3 , ñâÿçàííûì ñ òåëîì. Ïîâåäåíèå òî÷êè
îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû îòñ÷¼òà çàäà¼òñÿ ôîðìóëîé (ðèñ. 4.1)
                                                           3
                                                           X
                                  r = r0 + ρ = r0 +              yk ek ,                        (4.4)
                                                           k=1

â ïðàâîé ÷àñòè êîòîðîé íàõîäÿòñÿ èíôîðìàöèÿ r0 (t), e1 (t), e2 (t), e3 (t) î äâèæå-
íèè òåëà è ôàìèëèÿ, èìÿ, îò÷åñòâî  y1 , y2 , y3  òî÷êè B .
   Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñêîðîñòè òî÷êè B òåëà ïðîäèôôåðåíöèðóåì ïî t ôîðìó-
ëó (4.4):
                                             X 3
                                   ρ
                         V = ṙ0 + ρ̇ = V0 +      yk ėk .                     (4.5)
                                                            k=1

Èç (4.5) âèäíî, ÷òî äëÿ íàõîæäåíèÿ ñêîðîñòè ïðîèçâîëüíîé òî÷êè òðåáóåòñÿ
äîïîëíèòåëüíî çíàòü òðè âåêòîðà ė1 , ė2 , ė3 . Êàê ïîêàçûâàåò ñëåäóþùàÿ ëåììà,
íà ñàìîì äåëå äîïîëíèòåëüíî òðåáóåòñÿ çíàòü îäèí âåêòîð: óãëîâóþ ñêîðîñòü ω .
Ëåììà 4.1. Â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè t ñóùåñòâóåò òàêîé åäèíñòâåííûé âåêòîð
ω (óãëîâàÿ ñêîðîñòü), ÷òî äëÿ êàæäîãî áàçèñíîãî âåêòîðà ek âûïîëíÿåòñÿ
ñîîòíîøåíèå
                             ω , ek ],
                      ėk = [ω         k = 1, 2, 3.                 (4.6)
 êà÷åñòâå ω ìîæíî âçÿòü
                                                   3
                                            1X
                                         ω=       [ei , ėi ].                                  (4.7)
                                            2 i=1
¤ Äëÿ îáîñíîâàíèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ íóæíî ïîäñòàâèòü (4.7) â ïðàâóþ ÷àñòü (4.6),
ðàñêðûòü äâîéíîå âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå è èñïîëüçîâàòü (4.1), (4.2):
                             3                         3
                         1X                         1X
            ω , ek ] =
           [ω                  [[ei , ėi ], ek ] =       {ėi (ei , ek ) − ei (ėi , ek )} =
                         2 i=1                      2 i=1

                             3
                         1X                                1
                   =           {ėi δik + (ei , ėk )ei } = (ėk + ėk ) = ėk .
                         2 i=1                             2
Ïðè âû÷èñëåíèè ó÷òåíî ñâîéñòâî ðàçëîæåíèÿ âåêòîðà ïî îðòîíîðìèðîâàííîìó
            3
            X         3
                      X
áàçèñó: a =   ai ei =   (ei , a)ei .
             i=1            i=1
   Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà åäèíñòâåííîñòè ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ñóùåñòâóåò äâà âåê-
òîðà ω 1 , ω 2 , óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ (4.6) ëåììû, âû÷èòàåì âûðàæåíèÿ (4.6),
â êîòîðûå ïîäñòàâëåíû ω 1 è ω 2 , ïîëó÷àåì óðàâíåíèå

                              ω 1 − ω 2 , ek ] = 0,
                             [ω                            k = 1, 2, 3,

ñïðàâåäëèâîå òîëüêî ïðè ω 1 =ω 2 . ¥

                                                  17

Страницы