Краткий курс теоретической механики. Яковенко Г.Н. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

t
ωωω
ωω
ρρρ
ρρ
OB
˙ρ˙ρ˙ρ
˙ρ˙ρ
= [ωωω
ωω
, ρρρ
ρρ
]. (4.8)
¤
˙ρ˙ρ˙ρ
˙ρ˙ρ
=
3
X
k=1
y
k
˙
e
k
=
3
X
k=1
y
k
[ωωω
ωω
, e
k
] = [ωωω
ωω
,
3
X
k=1
y
k
e
k
] = [ωωω
ωω
, ρ]. (4.9)
¥
t
ωωω
ωω
O B
V
B
= V
O
+ [ωωω
ωω
, ρρρ
ρρ
], (4.10)
ρρρ
ρρ
OB.
¤ t
¥
O V
O
= 0
B
V
B
= [ωωω
ωω
, r], (4.11)
r = OB.
ωωω
ωω
O B
ωωω
ωω
V
B
V
O
O ωωω
ωω
ωωω
ωω
e
1
, e
2
, e
3
ωωω
ωω
=
3
X
i=1
ω
i
e
i
,
ω
1
= (
˙
e
2
, e
3
) = −(e
2
,
˙
e
3
), ω
2
= (
˙
e
3
, e
1
) = −(e
3
,
˙
e
1
), (4.12)
ω
3
= (
˙
e
1
, e
2
) = −(e
1
,
˙
e
2
).
Ëåììà 4.2. Â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè t ñóùåñòâóåò òàêîé åäèíñòâåííûé âåêòîð
ω (óãëîâàÿ ñêîðîñòü), ÷òî äëÿ ëþáîãî âåêòîðà ρ=OB , ñâÿçàííîãî ñ òåëîì,
ñïðàâåäëèâî
                                                     ω , ρ].
                                               ρ̇ = [ω                                          (4.8)
¤ Ëåììà äîêàçûâàåòñÿ äèôôåðåíöèðîâàíèåì ñ ó÷åòîì (4.6) ôîðìóëû (4.3):
                      3
                      X                3
                                       X                            3
                                                                    X
               ρ̇ =         yk ėk =             ω , ek ] = [ω
                                             yk [ω           ω,                      ω , ρ].
                                                                          yk ek ] = [ω          (4.9)
                      k=1              k=1                          k=1

¥
Òåîðåìà 4.1 (îá óãëîâîé ñêîðîñòè). Â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè t ñóùåñòâóåò
òàêîé åäèíñòâåííûé âåêòîð ω (óãëîâàÿ ñêîðîñòü), ÷òî ñêîðîñòè ëþáûõ äâóõ
òî÷åê O è B òâåðäîãî òåëà ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì

                                                   ω , ρ],
                                        VB = VO + [ω                                           (4.10)

ãäå ρ=OB.
¤ Òåîðåìà äîêàçûâàåòñÿ äèôôåðåíöèðîâàíèåì ïî âðåìåíè t ñ ó÷åòîì (4.8) âû-
ðàæåíèÿ (4.4). ¥
Ñëåäñòâèå. Åñëè äëÿ ñêîðîñòè òî÷êè O òåëà âûïîëíÿåòñÿ VO = 0, òî ñêîðîñòü
ëþáîé äðóãîé òî÷êè B òâåðäîãî òåëà ðàâíà

                                                    ω , r],
                                              VB = [ω                                          (4.11)

ãäå r = OB. Òàêîå äâèæåíèå íàçâàíî ⠟ 11 ÷èñòûì âðàùåíèåì.
Îïðåäåëåíèå 4.2. Óãëîâîé ñêîðîñòüþ òâ¼ðäîãî òåëà íàçûâàåòñÿ âåêòîð
ω , ñâÿçûâàþùèé ñêîðîñòè ëþáûõ äâóõ òî÷åê O è B òåëà ôîðìóëîé (4.10).
     Îòìåòèì, ÷òî óãëîâàÿ ñêîðîñòü ω òåëà  ñâîáîäíûé âåêòîð: ó íåãî åñòü
âåëè÷èíà, åñòü íàïðàâëåíèå, íî íåò òî÷êè ïðèëîæåíèÿ.
     Ôîðìóëà (4.10) ïîêàçûâàåò, ÷òî äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñêîðîñòè VB ïðîèçâîëüíîé
òî÷êè òåëà  ðàñïðåäåëåíèÿ ñêîðîñòåé â òåëå  òðåáóåòñÿ çíàòü ñêîðîñòü VO
íåêîòîðîé ôèêñèðîâàííîé òî÷êè O òåëà è åãî óãëîâóþ ñêîðîñòü ω (ðèñ. 4.2).
     Ñôîðìóëèðóåì è äîêàæåì ïîëåçíûé äëÿ ïðèëîæåíèé ðåçóëüòàò.
Òåîðåìà 4.2. Óãëîâàÿ ñêîðîñòü ω ðàñêëàäûâàåòñÿ ïî îðòîíîðìèðîâàííîìó áà-
çèñó e1 , e2 , e3 , ñâÿçàííîìó ñ òåëîì, ñëåäóþùèì îáðàçîì:
                                                    3
                                                    X
                                              ω=          ωi ei ,
                                                    i=1

              ω1 = (ė2 , e3 ) = −(e2 , ė3 ),            ω2 = (ė3 , e1 ) = −(e3 , ė1 ),     (4.12)
                                  ω3 = (ė1 , e2 ) = −(e1 , ė2 ).

                                                     18

Страницы