Краткий курс теоретической механики. Яковенко Г.Н. - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

T =
1
2
N
X
i=1
m
i
V
2
i
=
1
2
N
X
i=1
m
i
(V
i
, V
i
). (18.1)
t
m
i
˙
V
i
= F
i
dT
dt
=
N
X
i=1
(m
i
˙
V
i
, V
i
) =
N
X
i=1
(F
i
, V
i
) = N. (18.2)
N
N
N =
N
X
i=1
(F
i
, V
i
), (18.3)
V
i
F
i
δA
δA =
N
X
i=1
(F
i
, dr
i
), (18.4)
dr
i
F
i
dt V
i
dt = dr
i
dT = δA. (18.5)
t ∈ [t
1
, t
2
] r
i
(t)
A
12
r
i
(t)
t ∈ [t
1
, t
2
]
A
12
=
Z
t
2
t
1
δA =
Z
t
2
t
1
N
X
i=1
(F
i
, dr
i
) =
Z
t
2
t
1
N
X
i=1
³
F
i
¡
t, r(t),
˙
r(t)
¢
, V
i
(t)
´
dt. (18.6)
T
2
− T
1
= A
12
. (18.7)
Ÿ 18. ÇÀÊÎÍ ÈÇÌÅÍÅÍÈß ÊÈÍÅÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÝÍÅÐÃÈÈ

Îïðåäåëåíèå 18.1. Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîð-
ìóëå
                                                 N                    N
                                         1X             1X
                                     T =       mi Vi2 =       mi (Vi , Vi ).                                (18.1)
                                         2 i=1          2 i=1
Äèôôåðåíöèðîâàíèå (18.1) ïî âðåìåíè t ïðèâîäèò ñ ó÷¼òîì óðàâíåíèÿ Íüþòîíà
(15.1) (mi V̇i = Fi ) ê âûðàæåíèþ

                                     X       N            X            N
                                dT
                                   =     (mi V̇i , Vi ) =     (Fi , Vi ) = N.                               (18.2)
                                dt   i=1                  i=1

Îáîçíà÷åíèå N ïîÿñíÿåò ñëåäóþùåå
Îïðåäåëåíèå 18.2. Ìîùíîñòü N ñèë, äåéñòâóþùèõ íà ñèñòåìó ìàòåðèàëü-
íûõ òî÷åê, âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
                                                          N
                                                          X
                                                     N=           (Fi , Vi ),                               (18.3)
                                                            i=1

ãäå Vi  ñêîðîñòü òî÷êè, ê êîòîðîé ïðèëîæåíà ñèëà Fi .
Îïðåäåëåíèå 18.3. Ýëåìåíòàðíàÿ ðàáîòà δA ñèë, äåéñòâóþùèõ íà ñèñòåìó
ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
                                                          N
                                                          X
                                                     δA =   (Fi , dri ),                                    (18.4)
                                                            i=1

ãäå dri  ïåðåìåùåíèå òî÷êè, ê êîòîðîé ïðèëîæåíà ñèëà Fi .
Óìíîæåíèå (18.2) íà dt ñ ó÷¼òîì Vi dt = dri è (18.4) ïðèâîäèò ê çàêîíó èçìå-
íåíèÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè â äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìå:
                                                         dT = δA.                                           (18.5)

Ïóñòü ñèñòåìà âðåìÿ t ∈ [t1 , t2 ] ïåðåìåùàåòñÿ ïî ïóòè ri (t).
Îïðåäåëåíèå 18.4. Ðàáîòà A12 ñèë íà ïóòè ri (t) ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê
çà âðåìÿ t ∈ [t1 , t2 ] âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå (ñì. (18.4))
           Z    t2          Z       N
                                 t2 X                       Z        N ³
                                                                  t2 X                               ´
                                                                                ¡           ¢
   A12 =             δA =                   (Fi , dri ) =                  Fi t, r(t), ṙ(t) , Vi (t) dt.   (18.6)
               t1               t1    i=1                       t1   i=1

Èíòåãðèðîâàíèå ôîðìóëû (18.5) ïðèâîäèò ñ ó÷¼òîì (18.6) ê çàêîíó èçìåíåíèÿ
êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè â èíòåãðàëüíîé ôîðìå :
                                                      T2 − T1 = A12 .                                       (18.7)

                                                                64

Страницы