Краткий курс теоретической механики. Яковенко Г.Н. - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

r
i
i = 1, N
F
i
(t, r
1
, . . . , r
N
)
F
i
(t, r
1
, . . . , r
N
) F
i
(t, r
1
, . . . , r
N
)
Π(t, r
1
, . . . , r
N
)
F
i
(t, r
1
, . . . , r
N
) = −grad
i
Π(t, r
1
, . . . , r
N
) = −∇
i
Π(t, r
1
, . . . , r
N
) (19.1)
grad
i
Π(t, r
1
, . . . , r
N
) = ∇
i
Π(t, r
1
, . . . , r
N
r
i
F
i
(r
1
, . . . , r
N
)
F
i
(r
1
, . . . , r
N
) F
i
Π t
F
i
(r
1
, . . . , r
N
) = −grad
i
Π(r
1
, . . . , r
N
) = −∇
i
Π(r
1
, . . . , r
N
).
U = −Π
r
i
=
3
X
k=1
x
i k
i
k
, dr
i
=
3
X
k=1
i
k
dx
i k
, F
i
=
3
X
k=1
F
i k
i
k
. (19.2)
F
i
=
3
P
k=1
F
i k
i
k
F
i k
(t, x) = −
∂Π(t, x)
∂x
i k
. (19.3)
δA F
i
δA =
N
P
i=1
(F
i
, dr
i
) =
=
N
X
i=1
3
X
k=1
F
i k
(t, x)dx
i k
= −
N
X
i=1
3
X
k=1
∂Π(t, x)
∂x
i k
dx
i k
= −dΠ(t, x) +
∂Π(t, x)
∂t
dt.
Ÿ 19. ÏÎÒÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÑÈËÛ. ÇÀÊÎÍ ÈÇÌÅÍÅÍÈß
ÏÎËÍÎÉ ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÎÉ ÝÍÅÐÃÈÈ
Ïîëîæåíèÿ ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê îïðåäåëåíû ðàäèóñâåêòîðàìè ri , i = 1, N .
Îïðåäåëåíèå 19.1. Åñëè ñèëû Fi (t, r1 , . . . , rN ), äåéñòâóþùèå íà îòäåëüíûå
ìàòåðèàëüíûå òî÷êè, íå çàâèñÿò îò ñêîðîñòåé òî÷åê, ãîâîðÿò, ÷òî çàäàíû ñè-
ëîâûå ïîëÿ.
Îïðåäåëåíèå 19.2. Ñèëîâûå ïîëÿ Fi (t, r1 , . . . , rN ) (è ñèëû Fi (t, r1 , . . . , rN ))
íàçûâàþòñÿ ïîòåíöèàëüíûìè, åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ
Π(t, r1 , . . . , rN )  ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ, ÷òî ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà

       Fi (t, r1 , . . . , rN ) = −gradi Π(t, r1 , . . . , rN ) = −∇i Π(t, r1 , . . . , rN )           (19.1)

(gradi Π(t, r1 , . . . , rN ) = ∇i Π(t, r1 , . . . , rN )  ãðàäèåíò ïîòåíöèàëüíîé ýíåð-
ãèè [13, Ÿ 26, Ÿ 55] ïî ïåðåìåííûì, ñîîòâåòñòâóþùèì ðàäèóñâåêòîðó ri , ïðè
ôèêñèðîâàííûõ äðóãèõ ïåðåìåííûõ). Ñèëîâûå ïîëÿ Fi (r1 , . . . , rN ) (è ñèëû
Fi (r1 , . . . , rN )) íàçûâàþòñÿ ñòàöèîíàðíî ïîòåíöèàëüíûìè, åñëè ñèëû Fi
è ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ Π íå çàâèñÿò ÿâíî îò âðåìåíè t:

              Fi (r1 , . . . , rN ) = −gradi Π(r1 , . . . , rN ) = −∇i Π(r1 , . . . , rN ).

Ôóíêöèÿ U = −Π íàçûâàåòñÿ ñèëîâîé ôóíêöèåé.
Ïóñòü â ñèñòåìå îòñ÷¼òà ââåäåíû äåêàðòîâû êîîðäèíàòû (Ÿ 2):

                          3
                          X                             3
                                                        X                            3
                                                                                     X
                   ri =         xi k i k ,      dri =          ik dxi k ,     Fi =         Fi k ik .   (19.2)
                          k=1                           k=1                          k=1


                                                                        P
                                                                        3
Îïðåäåëåíèå (19.1) ïîòåíöèàëüíîé ñèëû Fi =                                   Fi k ik â äåêàðòîâûõ êîîðäèíà-
                                                                       k=1
òàõ çàïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì [13, Ÿ 26, Ÿ 55]:

                                                                ∂Π(t, x)
                                             Fi k (t, x) = −             .                             (19.3)
                                                                 ∂xi k

Âû÷èñëåíèå ýëåìåíòàðíîé ðàáîòû δA ïîòåíöèàëüíûõ ñèë Fi ñ ó÷¼òîì (18.4),
(19.2), (19.3) ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåìó ðåçóëüòàòó:

                                                      P
                                                      N
                                               δA =       (Fi , dri ) =
                                                      i=1
       N X
       X 3                                    XN X 3
                                                      ∂Π(t, x)                     ∂Π(t, x)
   =              Fi k (t, x)dxi k = −                         dxi k = −dΠ(t, x) +          dt.
        i=1 k=1                               i=1 k=1
                                                       ∂x i k                        ∂t

                                                          69

Страницы