Краткий курс теоретической механики. Яковенко Г.Н. - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

F
i
(x) =
3
P
k=1
F
i k
(x)i
k
δA Π(x)
δA =
N
P
i=1
(F
i
, dr
i
) =
=
N
X
i=1
3
X
k=1
F
i k
(x)dx
i k
= −
N
X
i=1
3
X
k=1
∂Π(x)
∂x
i k
dx
i k
= −dΠ(x).
(19.4)
F
i
(r
1
, . . . , r
N
)
F
i
(r
1
, . . . , r
N
)
m
F
i
(r
1
, . . . , r
N
)
¤ ⇓
⇑
dΠ(x)
N
X
i=1
3
X
k=1
F
i k
(x)dx
i k
= −
N
X
i=1
3
X
k=1
∂Π(x)
∂x
i k
dx
i k
dx
i k
x
i k
¥
E
E = T + Π (19.5)
E
E = T + Π = const. (19.6)
¤
dT = δA
dT = −dΠ r
i
(t) t ∈ [t
1
, t
2
]
T
2
−T
1
= Π
1
−Π
2
E
2
= T
2
+Π
2
= T
1
+Π
1
= E
1
                                                            P
                                                            3
Äëÿ ñòàöèîíàðíî ïîòåíöèàëüíûõ ñèë Fi (x) =                      Fi k (x)ik ýëåìåíòàðíàÿ ðàáîòà
                                                          k=1
δA  ïîëíûé äèôôåðåíöèàë ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè Π(x):

                                           P
                                           N
                                    δA =      (Fi , dri )   =
                                           i=1
                 N X
                 X 3                         XN X  3                                    (19.4)
                                                         ∂Π(x)
             =             Fi k (x)dxi k = −                    dxi k = −dΠ(x).
                 i=1 k=1                       i=1 k=1
                                                          ∂xi k


Òåîðåìà 19.1. Ïóñòü ñèëû Fi (r1 , . . . , rN ) çàâèñÿò òîëüêî îò ïîëîæåíèé òî÷åê.
Èìååò ìåñòî ýêâèâàëåíòíîñòü óòâåðæäåíèé
             {Ñèëû Fi (r1 , . . . , rN ) ñòàöèîíàðíî ïîòåíöèàëüíû.}
                                           m
    {Ýëåìåíòàðíàÿ ðàáîòà ñèë Fi (r1 , . . . , rN )  ïîëíûé äèôôåðåíöèàë.}
¤ Äîêàçàòåëüñòâà ⇓ áûëî ïðîâåäåíî â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ ïðè îáîñíîâà-
íèè ôîðìóëû (19.4). Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ⇑ íóæíî ðàñêðûòü ïîëíûé äèôôå-
ðåíöèàë dΠ(x) è â ðàâåíñòâå äâóõ äèôôåðåíöèàëüíûõ ôîðì (ñì. (19.4))
                     N X
                     X 3                            N X
                                                    X 3
                                                        ∂Π(x)
                                Fi k (x)dxi k = −                       dxi k
                     i=1 k=1                        i=1 k=1
                                                                ∂xi k

ïðèðàâíÿòü êîýôôèöèåíòû ïðè äèôôåðåíöèàëàõ dxi k îò íåçàâèñèìûõ ïåðåìåí-
íûõ xi k . Ïîëó÷åííîå ðàâåíñòâî (19.3) ýêâèâàëåíòíî â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ
îïðåäåëåíèþ 19.2 ïîòåíöèàëüíîñòè. ¥
Îïðåäåëåíèå 19.3. Ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê íàçûâàåòñÿ êîíñåðâàòèâ-
íîé, åñëè ñèëû, äåéñòâóþùèå íà ñèñòåìó,  ñòàöèîíàðíî ïîòåíöèàëüíû.
Îïðåäåëåíèå 19.4. Ïîëíàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ E ñèñòåìû ìàòåðèàëü-
íûõ òî÷åê âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå

                                        E =T +Π                                         (19.5)

 ñóììà êèíåòè÷åñêîé è ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèé.
Òåîðåìà 19.2 (çàêîí ñîõðàíåíèÿ ïîëíîé ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè). Ïîë-
íàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ E êîíñåðâàòèâíîé ñèñòåìû ñîõðàíÿåòñÿ âî âðåìÿ
äâèæåíèÿ:
                          E = T + Π = const.                     (19.6)
¤ Çàêîí èçìåíåíèÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè â äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìå (18.5)
(dT = δA) äëÿ êîíñåðâàòèâíîé ñèñòåìû ñ ó÷¼òîì (19.4) ïðèíèìàåò âèä:
dT = −dΠ . Èíòåãðèðîâàíèå íà ïóòè ri (t) âðåìÿ t ∈ [t1 , t2 ] ïðèâîäèò ê çàêîíó èç-
ìåíåíèÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè â èíòåãðàëüíîé ôîðìå (ñì. (18.7)):
T2 −T1 = Π1 −Π2 . Ýòî ðàâåíñòâî, çàïèñàííîå èíà÷å E2 = T2 +Π2 = T1 +Π1 = E1 ,

                                               70

Страницы