Краткий курс теоретической механики. Яковенко Г.Н. - 85 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

z
I
z
(t)
dω
dt
= M
z
−
n
X
i=1
dm
i
dt
M
z
{u
i
} +
r
X
l=1
dm
l
dt
M
z
{u
l
}, (25.1)
I
z
(t) M
z
M
z
{·}
z
u
u = u
R
¡
I
0
− m (t)R
2
¢
dω
dt
=
dm
dt
Ru, (25.2)
I
0
t = 0 m (t) =
n
P
i=1
m
i
(t)
[0, t] M
z
{u
i
} = −Ru
ω(t) = ω
0
+
u
R
ln
I
0
I
0
− m (t)R
2
.
a
t
m(t) =
1
2
m
0
µ
1 + cos
πt
t
1
, (25.3)
Ÿ 25. ÂÐÀÙÅÍÈÅ ÒÅËÀ ÏÅÐÅÌÅÍÍÎÃÎ ÑÎÑÒÀÂÀ ÂÎÊÐÓÃ
ÍÅÏÎÄÂÈÆÍÎÉ ÎÑÈ.
ÂÛÒÅÊÀÍÈÅ ÆÈÄÊÎÑÒÈ ÈÇ ÏÎÄÂÈÆÍÎÉ ÖÈÑÒÅÐÍÛ

Âðàùåíèå òåëà ïåðåìåííîãî ñîñòàâà âîêðóã íåïîäâèæíîé îñè z . Ðàñ-
ñóæäåíèÿìè, àíàëîãè÷íûìè òåì, êîòîðûå ïðèâåëè ê óðàâíåíèþ Ìåùåðñêîãî
(24.4), âûâîäèòñÿ ôîðìóëà:

              dω
                           n X dmóõ             X dmïð
                                                 r
       Iz (t)    = Mzâíåøí −      i
                                    Mz {uóõ
                                         i  } +      l
                                                       Mz {uïð
                                                            l },            (25.1)
              dt             i=1
                                 dt             l=1
                                                    dt

ãäå Iz (t)  ìîìåíò èíåðöèè òåëà îòíîñèòåëüíî îñè âðàùåíèÿ z, Mzâíåøí  ãëàâ-
íûé ìîìåíò âíåøíèõ ñèë îòíîñèòåëüíî îñè z, Mz {·}  îïåðàöèÿ âû÷èñëåíèÿ
ìîìåíòà îòíîñèòåëüíî îñè z , ïðî÷èå îáîçíà÷åíèÿ òå æå, ÷òî è â (24.4).
    êà÷åñòâå ïðèìåðà èñïîëüçîâàíèÿ óðàâíåíèÿ (25.1) ðàññìîòðèì çàäà÷ó î
ðàñêðó÷èâàíèè êîëüöåâîé êîñìè÷åñêîé ñòàíöèè ïðè ïîìîùè ðåàêòèâíûõ äâè-
ãàòåëåé [12, çàäà÷à 10.29]. Ñêîðîñòè èñòå÷åíèÿ uóõ ïðîäóêòîâ ñãîðàíèÿ ó äâè-
ãàòåëåé íåèçìåííû ïî âåëè÷èíå: uóõ = u,  è íàïðàâëåíû ïî êàñàòåëüíîé ê
âíåøíåé îêðóæíîñòè ðàäèóñà R. Ðàñêðó÷èâàíèå ïðîèñõîäèò âîêðóã îñè ñèì-
ìåòðèè z. Óðàâíåíèå (25.1) ïðèíèìàåò âèä
                       ¡               ¢ dω   dmóõ
                        I0 − móõ (t)R2      =      Ru,                      (25.2)
                                         dt    dt
                                                                   P
                                                                   n
ãäå I0  ìîìåíò èíåðöèè òåëà â ìîìåíò âðåìåíè t = 0, móõ (t) =           móõ
                                                                          i (t) 
                                                                   i=1
ñóììàðíûé ðàñõîä ãîðþ÷åãî çà ïðîìåæóòîê âðåìåíè [0, t], Mz {uóõ
                                                              i } = −Ru.
Ðåçóëüòàò èíòåãðèðîâàíèÿ óðàâíåíèÿ (25.2) àíàëîãè÷åí ôîðìóëå (24.6):

                                     u       I0
                       ω(t) = ω0 +     ln             .
                                     R I0 − móõ (t)R2
    çàêëþ÷åíèå ðàññìîòðèì çàäà÷ó, ðåøåíèå êîòîðîé íàõîäèòñÿ íà ãðàíè âîç-
ìîæíîñòåé êîíå÷íîìåðíîé ìåõàíèêè.
   Îäíîðîäíàÿ æèäêîñòü âûòåêàåò èç öèñòåðíû ìàññû Ì ÷åðåç êðàí, îòñòîÿ-
ùèé îò öåíòðà èíåðöèè öèñòåðíû íà ðàññòîÿíèè a ïî ãîðèçîíòàëè (ðèñ. 25.1).
Îñü êðàíà âåðòèêàëüíà, è ÷àñòèöû âûòåêøåé æèäêîñòè ñîõðàíÿþò òó ãîðèçîí-
òàëüíóþ ñîñòàâëÿþùóþ ñêîðîñòè, êîòîðóþ îíè èìåëè â ìîìåíò îòäåëåíèÿ îò
êðàíà. Âî âñå âðåìÿ äâèæåíèÿ óðîâåíü æèäêîñòè â öèñòåðíå îñòàåòñÿ ãîðèçîí-
òàëüíûì, à öåíòð èíåðöèè íàõîäèòñÿ íà òîé æå âåðòèêàëè, ÷òî è öåíòð èíåðöèè
öèñòåðíû. Ïðåíåáðåãàÿ ìàññîé êîëåñ è òðåíèåì, íàéòè ñêîðîñòü äâèæåíèÿ öè-
ñòåðíû â çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè t, åñëè ìàññà æèäêîñòè â öèñòåðíå ìåíÿåòñÿ
ïî çàêîíó                            µ          ¶
                                1            πt
                         m(t) = m0 1 + cos        ,                   (25.3)
                                2            t1

                                       85

Страницы