Краткий курс теоретической механики. Яковенко Г.Н. - 87 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

m(t) = m
0
− m (t) ˙m(t) = − ˙m (t)
X(t)
{M + m(t)}X(t) −
Z
t
0
n
X(τ) − a +
˙
X(τ)(t − τ)
o
˙m(τ)dτ = C
1
t + C
2
,
t
¨
X = −
a ¨m(t)
M + m(t)
.
m(t)
˙
X(0) = 0
V (t) =
˙
X(t) = a
π
t
1
(
π
t
1
t −
2M + m
0
p
M(M + m
0
)
arctg
Ã
r
M
M + m
0
tg
πt
2t
1
!)
.
t ∈ [0, t
1
] t
1
V = V (t
1
) = a
π
2
t
1
(
1 −
2M + m
0
2
p
M(M + m
0
)
)
.
M m
0
t V (t) > 0
˙
X(0) = 0
¨
X(0) > 0 t > t
1
V (t) < 0
ó÷òåíî: m(t) = m0 − móõ (t), ṁ(t) = −ṁóõ (t). Ïîäñòàíîâêà (25.5)) è (25.6) â
(25.4) ïðèâîäèò ê èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ äëÿ X(t):
                         Z tn                             o
      {M + m(t)}X(t) −          X(τ ) − a + Ẋ(τ )(t − τ ) ṁ(τ )dτ = C1 t + C2 ,
                          0

à ïîñëå äâóêðàòíîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïî t  ê äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâ-
íåíèþ
                                    am̈(t)
                            Ẍ = −          .
                                   M + m(t)
Ïîäñòàíîâêà â óðàâíåíèå çàêîíà (25.3) èçìåíåíèÿ ìàññû m(t) è èíòåãðèðîâàíèå
ïðè íà÷àëüíîì óñëîâèè Ẋ(0) = 0 ïðèâîäèò ê ðåçóëüòàòó
                         (                          Ãr             !)
                       π π        2M + m0                M      πt
     V (t) = Ẋ(t) = a       t− p             arctg          tg       .
                       t1 t1      M (M + m0 )          M + m0 2t1

Ðåçóëüòàò âåðåí ïðè t ∈ [0, t1 ]. Ê ìîìåíòó âðåìåíè t1 æèäêîñòü ïîëíîñòüþ ïîêè-
äàåò öèñòåðíó, è å¼ äâèæåíèå â äàëüíåéøåì ïðîèñõîäèò ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ
                                        (                 )
                                    π2         2M + m0
                    V = V (t1 ) = a       1− p               .
                                     t1     2 M (M + m0 )

Çàìåòèì, ÷òî, êàêîâî áû íè áûëî îòíîøåíèå ìàññ M è m0 , ïðè ìàëûõ çíà÷åíèÿõ
t äëÿ ñêîðîñòè âûïîëíÿåòñÿ V (t) > 0 (Ẋ(0) = 0, Ẍ(0) > 0), à ïðè t > t1 
âûïîëíÿåòñÿ V (t) < 0, ò.å. ñíà÷àëà öèñòåðíà äâèæåòñÿ âïðàâî (ðèñ. 25.1), à
çàòåì íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ ìåíÿåòñÿ.




                                          87

Страницы