Краткий курс теоретической механики. Яковенко Г.Н. - 88 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

t
O
O
r
0
(t) e
1
(t) e
2
(t) e
3
(t)
O
e
1
(t) e
2
(t) e
3
(t)
e
k
(t) i
1
i
2
i
3
e
k
=
3
X
l=1
a
k l
i
l
. (26.1)
A = ka
k l
k
a
k l
= cos
³
d
e
k
, i
l
´
δ
kj
= (e
k
, e
j
) =
3
X
l, s=1
a
k l
a
j s
(i
l
, i
s
) =
3
X
l, s=1
a
k l
a
j s
δ
ls
=
3
X
l=1
a
k l
a
j l
3
X
l=1
a
k l
a
j l
= δ
kj
AA
T
= E, (26.2)
A = ka
k l
k
A A
T
A
−
1
= A
T
i
l
i
l
=
3
X
j=1
a
j l
e
j
. (26.3)
e
j
(t) A(t) =
ka
k l
(t)k t t
3
X
l=1
˙a
k l
a
j l
= −
3
X
l=1
a
k l
˙a
j l
˙
AA
T
= −A
˙
A
T
. (26.4)
                                                 ÃËÀÂÀ 8
  ÇÀÄÀÍÈÅ ÏÎËÎÆÅÍÈß ÒœÐÄÎÃÎ ÒÅËÀ

Ÿ 26. ÌÀÒÐÈÖÀ ÏÎÂÎÐÎÒÀ. ÓÃËÛ ÝÉËÅÐÀ

 Ÿ 4 áûëî ïîêàçàíî: ÷òîáû çíàòü â ìîìåíò âðåìåíè t ïîëîæåíèå êàæäîé òî÷êè
òâ¼ðäîãî òåëà, íóæíî çíàòü ïîëîæåíèå îäíîé èç òî÷åê O òåëà è ïîëîæåíèå îòëî-
æåííîãî îò òî÷êè O îðòîíîðìèðîâàííîãî áàçèñà, ñâÿçàííîãî ñ òåëîì (ðèñ. 4.1),
òî åñòü, çíàòü ÷åòûðå âåêòîðà r0 (t), e1 (t), e2 (t), e3 (t). Çàäàíèå ïîëîæåíèÿ è ïîâå-
äåíèÿ òî÷êè O áûëî îáñóæäåíî â ãëàâå 1.  íàñòîÿùåé ãëàâå áóäóò îáñóæäàòüñÿ
ñïîñîáû çàäàíèÿ îðèåíòàöèè òâ¼ðäîãî òåëà: ïîëîæåíèÿ ñâÿçàííîãî ñ òåëîì áà-
çèñà e1 (t), e2 (t), e3 (t). Îäíèì èç ñïîñîáîâ ÿâëÿåòñÿ çàäàíèå êàæäîãî âåêòîðà
ek (t) ðàçëîæåíèåì ïî áàçèñó i1 , i2 , i3 , ñâÿçàííîìó ñ ñèñòåìîé îòñ÷¼òà (ðèñ. 4.1):
                                                       3
                                                       X
                                             ek =              ak l il .                                         (26.1)
                                                       l=1

Ìàòðèöó A = kak l k â (26.1) íàçûâàþò ³ìàòðèöåé
                                           ´      ïîâîðîòà èëè ìàòðèöåé
                                        d
íàïðàâëÿþùèõ êîñèíóñîâ (ak l = cos ek , il ) [5, 8]. Òàê êàê îáà áàçèñà îðòî-
íîðìèðîâàíû (ñì. (2.1) è (4.1)), âû÷èñëåíèÿ ñ ó÷¼òîì (26.1)
                                3
                                X                                    3
                                                                     X                         3
                                                                                               X
           δkj = (ek , ej ) =            ak l aj s (il , is ) =              ak l aj s δls =         ak l aj l
                                l, s=1                              l, s=1                     l=1

ïðèâîäÿò ê âûâîäó
                             3
                             X
                                   ak l aj l = δkj            èëè AAT = E,                                       (26.2)
                             l=1

÷òî ìàòðèöà A = kak l k îðòîãîíàëüíà [3]. Èç (26.2) ñëåäóåò, ÷òî îáðàòíîé ê
ìàòðèöå A ÿâëÿåòñÿ åé òðàíñïîíèðîâàííàÿ AT : A−1 = AT , òî åñòü, ðàçðåøåíèå
ñîîòíîøåíèÿ (26.1) îòíîñèòåëüíî il ïðèâîäèò ê ðåçóëüòàòó
                                                     3
                                                     X
                                             il =             aj l ej .                                          (26.3)
                                                      j=1

Âñëåäñòâèå äâèæåíèÿ òâ¼ðäîãî òåëà îðòû ej (t) è ìàòðèöà ïîâîðîòà A(t) =
kak l (t)k çàâèñÿò îò âðåìåíè t. Äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî t ôîðìóë (26.2) îïðå-
äåëÿåò âûðàæåíèÿ
                   3
                   X                      3
                                          X
                         ȧk l aj l = −          ak l ȧj l      èëè ȦAT = −AȦT .                              (26.4)
                   l=1                     l=1


                                                        88

Страницы