Краткий курс теоретической механики. Яковенко Г.Н. - 89 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

t
i
l
e
j
˙
e
k
=
3
X
l=1
˙a
k l
i
l
=
3
X
l=1
˙a
k l
a
j l
e
j
=
3
X
l=1
b
k j
e
j
. (26.5)
B = kb
k j
k = k˙a
k l
a
j l
k =
˙
AA
T
B
B
T
= (
˙
AA
T
)
T
= A
˙
A
T
(26.4)
= −
˙
AA
T
= −B,
B =
0 −ω
3
ω
2
ω
3
0 −ω
1
−ω
2
ω
1
0
.
ω
j
B ωωω
ωω
=
3
P
l=1
ω
j
e
j
˙
e
k
= [ωωω
ωω
, e
k
]
ωωω
ωω
a
k l
A = ka
k l
k
3
X
l=1
a
2
1 l
= 1,
3
X
l=1
a
2
2 l
= 1,
3
X
l=1
a
2
3 l
= 1,
3
X
l=1
a
1 l
a
2 l
= 0,
3
X
l=1
a
1 l
a
3 l
= 0,
3
X
l=1
a
2 l
a
3 l
= 0.
a
k l
i
1
i
2
i
3
e
1
e
2
e
3
O e
2
n n⊥i
3
n⊥e
3
θ =
[
i
3
, e
3
ψ =
d
i
1
, n
ϕ = [n, e
1
θ ψ ϕ
i
3
e
3
θ = 0 θ = π
ψ ϕ
Ïðîäèôôåðåíöèðóåì ïî t ïåðåõîä (26.1) ñ ïîñëåäóþùåé çàìåíîé ïðè ïîìîùè
(26.3) il íà ej :
                        3
                        X            3
                                     X                 3
                                                       X
                  ėk =   ȧk l il =   ȧk l aj l ej =   bk j ej . (26.5)
                                     l=1          l=1               l=1

Îáîçíà÷åíî B = kbk j k = kȧk l aj l k = ȦAT . Ìàòðèöà B êîñîñèììåòðè÷íà:
                                                           (26.4)
                        B T = (ȦAT )T = AȦT = −ȦAT = −B,

è ïîýòîìó å¼ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå [10, ãë. I, Ÿ 4]
                                               
                                 0 −ω3 ω2
                         B =  ω3     0 −ω1  .
                               −ω2 ω1        0

                                                                                            P
                                                                                            3
Åñëè ñ èñïîëüçîâàíèåì ýëåìåíòîâ ωj ìàòðèöû B ââåñòè âåêòîð ω =                                    ωj ej ,
                                                                                            l=1
òî íå òðóäíî íåïîñðåäñòâåííî ïðîâåðèòü, ÷òî äâå ôîðìóëû  (26.5) è (4.6)
(ėk = [ω
        ω , ek ])  ïðèâîäÿò ê ñîâïàäàþùèì ðåçóëüòàòàì. Ýòîò ôàêò åñòü åù¼
îäíî äîêàçàòåëüñòâî ñóùåñòâîâàíèÿ óãëîâîé ñêîðîñòè ω â ëåììå 4.1.
    Ñîîòíîøåíèå (26.2) íàêëàäûâàåò øåñòü óñëîâèé íà äåâÿòü ýëåìåíòîâ ak l
ìàòðèöû A = kak l k:
                      3
                      X                      3
                                             X                      3
                                                                    X
                             a21 l   = 1,          a22 l   = 1,           a23 l = 1,
                       l=1                   l=1                    l=1

                3
                X                           3
                                            X                        3
                                                                     X
                      a1 l a2 l = 0,              a1 l a3 l = 0,           a2 l a3 l = 0.
                l=1                         l=1                      l=1

Òàêèì îáðàçîì, ñóùåñòâóåò ïðèíöèïèàëüíàÿ âîçìîæíîñòü òðè ýëåìåíòà èç äå-
âÿòè ak l èçìåíÿòü ïðîèçâîëüíî, à îñòàëüíûå øåñòü âûðàçèòü (ëîêàëüíî) èç ïðè-
âåä¼ííûõ óðàâíåíèé. Èëè  âñå äåâÿòü âûðàçèòü ÷åðåç íåêîòîðûå òðè ïåðåìåí-
íûå. Îäíà èç òàêèõ âîçìîæíîñòåé îñóùåñòâëÿåòñÿ ââåäåíèåì óãëîâ Ýéëåðà.
   Áàçèñ ñèñòåìû îòñ÷¼òà i1 , i2 , i3 è áàçèñ e1 , e2 , e3 , ñâÿçàííûé ñ òåëîì, îòëîæèì
îò îáùåé íà÷àëüíîé òî÷êîé O (ðèñ. 26.1, îðò e2 íå èçîáðàæ¼í). Óãëû Ýéëåðà
ââîäÿòñÿ êàê óãëû ìåæäó âåêòîðàìè (n  îðò íà ëèíèè óçëîâ: n⊥i3 , n⊥e3 ):
   θ = i[3 , e3  óãîë íóòàöèè;
   ψ = id 1 , n  óãîë ïðåöåññèè;
   ϕ = n,[    e1  óãîë ñîáñòâåííîãî âðàùåíèÿ.
   Îòìåòèì, ÷òî êîíêðåòíûé âûáîð óãëîâ θ, ψ , ϕ îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò ïîëî-
æåíèå òåëà, íî åñëè ïîëîæåíèþ òåëà ñîîòâåòñòâóåò êîëëèíåàðíîñòü âåêòîðîâ i3
è e3 (θ = 0 èëè θ = π ), òî íå åäèíñòâåííûì îáðàçîì îïðåäåëåíû ëèíèÿ óçëîâ
è çíà÷åíèÿ óãëîâ ψ è ϕ, òî åñòü óãëû Ýéëåðà íå ÿâëÿþòñÿ ãëîáàëüíûìè êîîð-
äèíàòàìè. Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî íåãëîáàëüíîñòü ïðîÿâëÿåòñÿ ïî ìåðå íóëü, ýòî

                                                     89

Страницы