Краткий курс теоретической механики. Яковенко Г.Н. - 92 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

i
1
, . . . , i
n
Λ =
n
P
k=1
λ
k
i
k
M =
n
P
l=1
µ
l
i
l
λ
k
µ
l
Λ ◦ M
Λ ◦ (M + N) = Λ ◦ M + Λ ◦ N
Λ ◦ M =
n
P
k, l=1
λ
k
µ
l
i
k
◦ i
l
i
k
◦ i
l
Λ = λ
0
i
0
+ λ
1
i
1
i
0
◦i
0
= i
0
i
0
◦i
1
= i
1
i
1
◦i
0
= i
1
i
1
◦ i
1
= −i
0
i
0
Λ◦i
0
= i
0
◦Λ = Λ
Λ = λ
0
+ λ
1
i
1
i
1
= i
i ◦i = −1
i
0
i
1
i
2
i
3
i
0
Λ ◦ i
0
=
i
0
◦ Λ = Λ
Λ = λ
0
+
3
P
k=1
λ
k
i
k
k, l = 1, 3
i
k
◦ i
l
=
(
−1, k = l
[i
k
, i
l
], k 6= l
(27.1)
Λ = λ
0
+ λ
1
i
1
+ λ
2
i
2
+ λ
3
i
3
= λ
0
+ λλλ
λλ
(27.2)
λ
0
λλλ
λλ
= λ
1
i
1
+λ
2
i
2
+λ
3
i
3
Λ = λ
0
+ λ
1
i
1
+ λ
2
i
2
+ λ
3
i
3
= λ
0
+ λλλ
λλ
, M = µ
0
+ µ
1
i
1
+ µ
2
i
2
+ µ
3
i
3
= µ
0
+ µµµ
µµ
Λ ◦M = λ
0
µ
0
− (λλλ
λλ
, µµµ
µµ
)
| {z }
+ λ
0
µµµ
µµ
+ µ
0
λλλ
λλ
+ [λλλ
λλ
, µµµ
µµ
]
| {z }
. (27.3)
Λ ◦M − M ◦ Λ = 2[λλλ
λλ
, µµµ
µµ
]. (27.4)
Ÿ 27. ÀËÃÅÁÐÀ ÊÂÀÒÅÐÍÈÎÍÎÂ
Íàïîìíèì ïîíÿòèå êîíå÷íîìåðíîé àëãåáðû íàä ïîëåì âåùåñòâåííûõ ÷èñåë [7,
ãë. VI]. Â ëèíåéíîì âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå ñ áàçèñîì i1 , . . . , in è ýëåìåíòàìè
      Pn              P
                      n
Λ =      λk i k , M =   µl il (λk è µl  âåùåñòâåííûå ÷èñëà) îïðåäåëåíî óìíî-
      k=1              l=1
æåíèå Λ ◦ M . Îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ ñâÿçàíû ðàñïðåäåëèòåëüíûì
(äèñòðèáóòèâíûì) çàêîíîì Λ ◦ (M + N ) = Λ ◦ M + Λ ◦ N , âñëåäñòâèå êîòîðî-
                                                           P
                                                           n
ãî äëÿ ïåðåìíîæåíèÿ äâóõ ýëåìåíòîâ âûïîëíÿåòñÿ: Λ ◦ M =       λk µl ik ◦ il , òî
                                                                        k, l=1
åñòü, äëÿ ââåäåíèÿ óìíîæåíèÿ â âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü
òàáëèöó óìíîæåíèÿ ik ◦ il . Ââåä¼ííîå òàêèì îáðàçîì ïðîñòðàíñòâî íàçûâàåòñÿ
àëãåáðîé.
    Àëãåáðà êîìïëåêñíûõ ÷èñåë  äâóìåðíîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî ñ ýëå-
ìåíòàìè Λ = λ0 i0 + λ1 i1 è òàáëèöåé óìíîæåíèÿ i0 ◦ i0 = i0 , i0 ◦ i1 = i1 , i1 ◦ i0 = i1 ,
i1 ◦ i1 = −i0 . Èç ïðèâåä¼ííîé òàáëèöû âèäíî, ÷òî áàçèñíûé ýëåìåíò i0 èãðàåò
ðîëü åäèíèöû (Λ ◦ i0 = i0 ◦ Λ = Λ), îí îòîæäåñòâëÿåòñÿ ñ åäèíèöåé 1 è ïðè óìíî-
æåíèè îïóñêàåòñÿ: Λ = λ0 + λ1 i1 . Áàçèñíûé ýëåìåíò i1 = i íàçûâàåòñÿ ìíèìîé
åäèíèöåé: i ◦ i = −1.
    Àëãåáðà êâàòåðíèîíîâ [4, 7] ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì àëãåáðû êîìïëåêñíûõ
÷èñåë. Ýòî ÷åòûð¼õìåðíîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî ñ áàçèñîì i0 , i1 , i2 , i3 . Òàê æå,
êàê ó êîìïëåêñíûõ ÷èñåë, áàçèñíûé ýëåìåíò i0 èãðàåò ðîëü åäèíèöû (Λ ◦ i0 =
i0 ◦ Λ = Λ), îí îòîæäåñòâëÿåòñÿ ñ åäèíèöåé 1 è ïðè óìíîæåíèè îïóñêàåòñÿ:
            P3
Λ = λ0 +        λk ik . Äëÿ ïðî÷èõ áàçèñíûõ ýëåìåíòîâ (k, l = 1, 3) â òàáëèöå
            k=1
óìíîæåíèÿ ïðèíèìàåòñÿ
                                       (
                                        −1,         åñëè k = l;
                             ik ◦ il =                                               (27.1)
                                        [ik , il ], åñëè k 6= l.

Äëÿ êâàòåðíèîíà
                         Λ = λ0 + λ1 i1 + λ2 i2 + λ3 i3 = λ0 + λ                     (27.2)
èñïîëüçóþòñÿ íàçâàíèÿ: λ0  ñêàëÿðíàÿ ÷àñòü, λ = λ1 i1 +λ2 i2 +λ3 i3  âåêòîðíàÿ
÷àñòü êâàòåðíèîíà. Ñ ó÷¼òîì (27.1) êâàòåðíèîííîå óìíîæåíèå äâóõ êâàòåðíèî-
íîâ

  Λ = λ0 + λ1 i1 + λ2 i2 + λ3 i3 = λ0 + λ,        M = µ0 + µ1 i1 + µ2 i2 + µ3 i3 = µ0 + µ
ïðèâîäèò ê ðåçóëüòàòó

                                      λ, µ) + λ0µ + µ0λ + [λ
                     Λ ◦ M = λ0 µ0 − (λ                    λ, µ] .                   (27.3)
                             |     {z     } |        {z        }
                                ñêàëÿðíàÿ ÷àñòü       âåêòîðíàÿ ÷àñòü

Îòìåòèì, ÷òî êâàòåðíèîííîå óìíîæåíèå íåêîììóòàòèâíî, èç (27.3) ñëåäóåò

                                                 λ, µ].
                               Λ ◦ M − M ◦ Λ = 2[λ                                   (27.4)

                                             92

Страницы