Краткий курс теоретической механики. Яковенко Г.Н. - 93 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Λ
2
= Λ ◦ Λ = λ
2
0
−
3
X
k=1
λ
2
k
+ 2λ
0
λλλ
λλ
. (27.5)
λ
0
= 0 µ
0
= 0
λλλ
λλ
◦µµµ
µµ
= −(λλλ
λλ
, µµµ
µµ
) + [λλλ
λλ
, µµµ
µµ
]. (27.6)
λλλ
λλ
◦λλλ
λλ
= −
3
X
k=1
λ
2
k
= −|λλλ
λλ
|
2
. (27.7)
|e| = 1
e ◦ e = −|e|
2
= −1. (27.8)
e
(Λ ◦ M) ◦ N = Λ ◦ (M ◦ N). (27.9)
Λ
2
+ 2bΛ + c = 0,
b c Λ
2
Λ
2λλλ
λλ
(λ
0
+ b) = 0, λ
2
0
− |λλλ
λλ
|
2
+ 2bλ
0
+ c = 0,
c = b
2
Λ = λ
0
= −b
c < b
2
Λ = λ
0
= −b ±
√
b
2
− c
c > b
2
λ
0
= −b
λλλ
λλ
|λλλ
λλ
|
2
= c − b
2
Λ = λ
0
+ λλλ
λλ
e
Λ =
λ
0
−λλλ
λλ
n
Λ = −
e
Λ
o
⇔
©
Λ = λλλ
λλ
(λ
0
= 0)
ª
. (27.10)
^
Λ
1
◦ ··· ◦ Λ
n
=
e
Λ
n
◦ ··· ◦
e
Λ
1
. (27.11)
Ïðèâåä¼ì íåñêîëüêî ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ ôîðìóëû (27.3). Êâàòåðíèîííûé êâàäðàò:
                                                   3
                                                   X
                        2
                       Λ =Λ◦Λ=           λ20   −         λ2k + 2λ0λ.    (27.5)
                                                   k=1

Êâàòåðíèîííîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ (λ0 = 0, µ0 = 0)):

                                        λ, µ) + [λ
                              λ ◦ µ = −(λ        λ, µ].                 (27.6)

Êâàòåðíèîííûé êâàäðàò âåêòîðà:
                                         3
                                         X
                             λ◦λ = −                    λ |2 .
                                                λ2k = −|λ               (27.7)
                                          k=1

Êâàòåðíèîííûé êâàäðàò îðòà (|e| = 1):

                                 e ◦ e = −|e|2 = −1.                    (27.8)

Èç (27.8) âèäíî, ÷òî ëþáîé îðò e âåä¼ò ñåáÿ ñ êâàòåðíèîííîé òî÷êè çðåíèÿ êàê
ìíèìàÿ åäèíèöà.
   Ïî ôîðìóëå (27.3) ïðîâåðÿåòñÿ àññîöèàòèâíîñòü êâàòåðíèîííîãî óìíîæå-
íèÿ:
                         (Λ ◦ M ) ◦ N = Λ ◦ (M ◦ N ).                  (27.9)
Ïðèìåð 27.1 [12, çàäà÷à 4.61]. Ðåøèòü êâàòåðíèîííîå êâàäðàòíîå óðàâíåíèå
                                  Λ2 + 2bΛ + c = 0,

b è c  äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà. Ïîäñòàíîâêà Λ2 èç (27.5) è Λ â óðàâíåíèå, ïðè-
ðàâíèâàíèå ê íóëþ âåêòîðíîé è ñêàëÿðíîé ÷àñòåé ïðèâîäèò ê óðàâíåíèÿì

                   λ(λ0 + b) = 0,
                  2λ                     λ20 − |λ
                                                λ|2 + 2bλ0 + c = 0,

èç êîòîðûõ ñëåäóåò âûâîä:
   ïðè c = b2 åäèíñòâåííîå ñêàëÿðíîå ðåøåíèå Λ = λ0√= −b;
   ïðè c < b2 äâà ñêàëÿðíûõ ðåøåíèÿ Λ = λ0 = −b ± b2 − c;
   ïðè c > b2 ðåøåíèé áåñêîíå÷íî ìíîãî, λ0 = −b, âåêòîðíàÿ ÷àñòü  ëþáîé
âåêòîð λ, äëÿ êîòîðîãî âûïîëíÿåòñÿ |λλ |2 = c − b 2 .
   Êâàòåðíèîíó Λ = λ0 + λ ñîîòâåòñòâóåò ñîïðÿæ¼ííûé êâàòåðíèîí Λ      e =
λ0 − λ. Îòìåòèì ñâîéñòâî, êîòîðîå áóäåò èñïîëüçîâàíî äàëåå:
                      n         o   ©                 ª
                              e
                        Λ = −Λ ⇔ Λ = λ (λ0 = 0) .                  (27.10)

Îòìåòèì åù¼ îäíî ñâîéñòâî, ïðîâåðÿåìîå ïî îïðåäåëåíèþ ñîïðÿæ¼ííîãî êâà-
òåðíèîíà (ó÷òåíà àññîöèàòèâíîñòü (27.9))

                            Λ1 ◦^            en ◦ · · · ◦ Λ
                                · · · ◦ Λn = Λ            e 1.         (27.11)

                                           93

Страницы