ВУЗ:
Составители:
33
Если уравнения движения системы (3.17) таковы, что можно найти
знакоопределенную положительную функцию
),(
t
y
W , полная производная
которой
),( ty
y
W
t
W
dt
dy
y
W
t
W
dt
dW
Φ
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
, (3.18)
вычисленная в силу этих уравнений, есть знакопостоянная отрицательная
функции или тождественно равная нулю, то невозмущенное движение
0
=
y
устойчиво по Ляпунову.
Доказательство теоремы 1 в случае, когда функция
)(
y
W не зависит от
времени (это имеет место, например, для автономных систем, правые части
которых не зависят от времени) сравнительно простое [4]. Действительно, в
этом случае
)( y
y
W
dt
dW
Φ
∂
∂
=
есть скалярное произведение вектора градиента функции
)(
y
W с
компонентами (
n
y
W
y
W
∂
∂
∂
∂
,...
1
) и вектора скорости (
dt
n
dy
dt
dy
,...
1
) изображающей
точки в фазовом пространстве. По условию производная
dt
dW
отрицательна
или нуль. С учетом того, что вектор градиента всегда направлен по нормали
к поверхности
C
y
W =)( в сторону возрастания функции )(
y
W , то траектории
системы пересекают (в силу отрицательности скалярного произведения)
замкнутую поверхность
C
y
W
=
)( из вне во внутрь или располагаются на ней
(если 0=
dt
dW
). В любом случае при любом 0>
ε
всегда можно выбрать
ε
δ
<≤
C
такое, что если неравенство
δ
≤)(
o
ty выполняется при условии
0≤
dt
dW
, то любая траектория системы может покинуть поверхность
C
y
W
=
)(
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- …
- следующая ›
- последняя »
