ВУЗ:
Составители:
59
В теории колебаний доказывается [12], что если выполняются условия
теоремы Дирихле-Лагранжа (в частности, выполняются условия Сильвестра
для квадратичных форм (5.11) и (5.12)), то решения системы (5.16) имеют
периодический или почти периодический характер и ищутся в виде
)
0
cos(
ϕ
ω
+= tVx
, (5.17)
где
V
и
0
ϕ
- произвольные постоянные,
ω
- скалярный параметр,
характеризующий частоты колебаний систем (5.15) и (5.16).
Подставив решение (5.17) в систему (5.15), получим однородную
систему линейных алгебраических уравнений вида
0)
2
( =− Vac
ω
. (5.18)
Система линейных уравнений иметь ненулевые решения
0
≠
V
тогда и
только тогда, когда определитель
0)
2
det( =−
ω
ac . (5.19)
Соотношение (5.19) фактически представляет собой
характеристическое уравнение системы (5.15) относительно параметра
2
ω
.
После раскрытия определителя соотношение (5.19) преобразуется в
многочлен
ν
-ой степени по параметру
2
ω
и имеет ровно
ν
положительных
корней:
2
i
ω
, где
ν
,...1=i
. В теории колебаний показывается [12], что
положительность корней обеспечивается положительной определенностью
квадратичных форм (5.11) и (5.12). Совокупность положительных значений
i
ω
, где
ν
,...1=i , определяет собственные частоты малых колебаний системы
(5.15), поэтому уравнение (5.19) иногда называют частотным уравнением. В
теории малых колебаний обычно рассматривается случай, когда среди
корней частотного уравнения (5.19) нет кратных (равных). В этом случае
каждой собственной частоте
i
ω
системы соответствует ненулевой
собственный вектор
)(i
V
, который находится из условия
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 57
- 58
- 59
- 60
- 61
- …
- следующая ›
- последняя »
