ВУЗ:
Составители:
65
причем решения этого уравнения зависят от одного безразмерного параметра
ω
ε
k
= .
Величина параметра
ε
сравнивается с единицей. Возмущение считается малым,
если 1<<
ε
. В прикладных задачах малыми считаются параметры
3
1
<
ε
. Ясно, что
такой метод введения малых параметров приводит к большому их количеству, если
в возмущающей функции ),(
x
x
F
&
присутствует большое количество отдельных
слагаемых. В этом случае последующее применение метода малого параметра
становится громоздким, что является недостатком такого способа введения малых
параметров.
Второй способ введения малого параметра
ε
связан с предположением, что
решения системы с возмущением мало отличается от известного (невозмущенного)
решения определенного вида, например, гармонических колебаний. При этом все
слагаемые в системе делятся на две группы: основные и возмущающие.
Возмущающие функции масштабируются путем введения перед ними множителя –
малого параметра
ε
. В этом случае успех применения асимптотического метода
определяется близостью решений рассматриваемой системы к известным решениям.
Пример. Рассмотрим опять динамическое уравнение, описывающее
колебательное движение с одной степенью свободы (5.30). Пусть
),(
x
x
F
&
является ограниченной функцией своих переменных
MxxF <),(
&
, где
M
-
некоторая константа, и заранее известно, что эта функция оказывает малое
влияние на движение системы. Проведем масштабирование функции
),(
x
x
F
&
с помощью множителя – малого параметра
ε
, то есть положим
),(),(
x
x
f
x
x
F
&&
ε
= , где ),(
x
x
f
&
- некоторая новая функция. Ясно, что если
функция
),(
x
x
F
&
(константа
M
) имела порядок
ε
(см. Приложение 4), то
функция
),(
x
x
f
&
будет иметь порядок единицы. После введения таким
образом малого параметра
ε
уравнение (5.30) примет вид
),(
2
xxfxx
&&&
εω
=+
, (5.31)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 63
- 64
- 65
- 66
- 67
- …
- следующая ›
- последняя »
