ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
19
Иными словами, найдем связь между изображением оригинала и
производной функции вещественной переменной t. Применив
прямое преобразование Лапласа (2.1)
∫
∞
−
=
0
1
dt
dt
tdf
pf
pt
e
)(
)(
и интегрируя по частям, получим:
∫∫
∞∞
−
∞
−−
∞
−
+=−=
00
0
0
1
dttfptfdtftfpf
ptptptpt
eeee )()()()()( . (3.11)
Вещественная часть комплексной переменной p, равная
cp =}Re{ , называется абсциссой сходимости. Величина с выбира-
ется так, чтобы на комплексной плоскости прямая
ω
jcp
+
=
, где
cons
t
c = , параллельная мнимой оси, лежала правее полюсов изо-
бражающей функции
)p(f
(рис. 3.2).
Звездочкой обозначены по-
люса изображающей функ-
ции; 0
σ
– ось веществен-
ных значений комплексной
переменной p. Можно по-
казать, что указанное выше
условие обеспечивает схо-
димость прямого преобра-
зования Лапласа. Обычно
(для устойчивых систем)
полюса изображающей
функции f (p) лежат в ле-
вой полуплоскости (это яв-
ляется признаком затухания колебаний, возникающих в системе).
В этом случае для абсциссы сходимости
достаточно, чтобы вы-
полнялось условие
0}Re{ >
=
cp
, тогда первый член в (3.11) будет
иметь вид
)()(00
0
ftf
pt
e −=
∞
−
и, следовательно,
∫
∞
−
−=
0
1
)0()()( fdtetfppf
pt
, но
∫
∞
−
=
0
)()( pfdtetf
pt
.
с
j
ω
0
σ
*
*
*
*
Рис. 3.2
*
p=c+j
ω
20
Таким образом,
)0()()(
1
fpfppf −= . (3.12)
Если рассматривать первую производную функции перемен-
ной t как исходную функцию, а вторую как производную первой
производной
2
2
1
2
dt
tfd
dt
tdf
tf
)()(
)( ==
,
то изображение второй производной через изображение первой
производной согласно формуле (3.12) запишется в виде
)0()()(
12
fpfppf
′
−= , (3.13)
где
dt
tdf
tf
)(
)( =
′
.
Аналогично получаем рекуррентную формулу для изобра-
жения
n
-й производной через изображение 1
−
n производной
)()( )(
)(
0
1
1
−
−
−=
n
nn
fpfppf
, (3.14)
где
1
1
1
−
−
−
=
n
n
n
td
tfd
f
)(
)(
.
Пользуясь формулой (3.13) или более общей рекуррентной
формулой (3.14), можно легко последовательно, принимая за ос-
нову (3.12), написать развёрнутые формулы для изображения
n -й
производной:
),0()()0()0()()(
),0()()(
1
2
2
1
fpffpfpfppf
fppfpf
′
−=
′
−−=
−=
),0()0()0()(
)0()()(
23
23
ffpfppfp
fpfppf
′′
−
′
−−=
=
′′
−=
(3.15)
Здесь
)...0(),0(),0( fff
′
′
′
– величины функции
)(tf
и ее про-
изводных при значении независимой переменной t = 0. Отсюда
одно из существенных достоинств операционного исчисления со-
стоит в том, что при решении дифференциальных уравнений сразу
учитываются начальные условия. Упрощение записей получаем,
если считать начальные условия равными нулю (это также важ-
Иными словами, найдем связь между изображением оригинала и Таким образом,
производной функции вещественной переменной t. Применив f1( p ) = pf ( p ) − f ( 0 ) .
(3.12)
прямое преобразование Лапласа (2.1) Если рассматривать первую производную функции перемен-
∞
df (t ) − pt ной t как исходную функцию, а вторую как производную первой
f1 ( p ) = ∫ e dt
0 dt производной
и интегрируя по частям, получим: df 1 (t ) d 2 f (t )
f 2 (t ) = = ,
∞ ∞ ∞ ∞ dt dt 2
f1 ( p ) = f (t )e − pt − ∫ f (t )de − pt = f (t )e − pt + p ∫ f (t )e − pt dt . (3.11) то изображение второй производной через изображение первой
0 0 0
0
производной согласно формуле (3.12) запишется в виде
Вещественная часть комплексной переменной p, равная f 2 ( p ) = pf1( p ) − f ′( 0 ) , (3.13)
Re{ p} = c , называется абсциссой сходимости. Величина с выбира-
df ( t )
ется так, чтобы на комплексной плоскости прямая p = c + jω , где где f ′( t ) = .
dt
c = const , параллельная мнимой оси, лежала правее полюсов изо- Аналогично получаем рекуррентную формулу для изобра-
бражающей функции f ( p ) жения n -й производной через изображение n − 1 производной
(рис. 3.2). f n ( p ) = pf n −1 ( p ) − f ( n −1) (0) , (3.14)
jω p=c+jω Звездочкой обозначены по- n −1
с люса изображающей функ- где f ( n − 1) = d f (t )
.
n −1
ции; 0 σ – ось веществен- dt
ных значений комплексной Пользуясь формулой (3.13) или более общей рекуррентной
* переменной p. Можно по- формулой (3.14), можно легко последовательно, принимая за ос-
* нову (3.12), написать развёрнутые формулы для изображения n -й
* казать, что указанное выше
* 0 σ условие обеспечивает схо- производной:
* димость прямого преобра- f1 ( p ) = pf ( p ) − f (0),
зования Лапласа. Обычно
f 2 ( p ) = p 2 f ( p ) − pf (0) − f ′(0) = f1 ( p ) − f ′(0),
(для устойчивых систем)
полюса изображающей f 3 ( p ) = pf 2 ( p ) − f ′′( 0 ) =
функции f (p) лежат в ле- = p3 f ( p ) − p2 f ( 0 ) − pf ′( 0 ) − f ′′( 0 ), (3.15)
Рис. 3.2 вой полуплоскости (это яв-
ляется признаком затухания колебаний, возникающих в системе).
Здесь f ( 0 ), f ′( 0 ), f ′′( 0 )... – величины функции f (t ) и ее про-
В этом случае для абсциссы сходимости достаточно, чтобы вы-
полнялось условие Re{p} = c > 0 , тогда первый член в (3.11) будет изводных при значении независимой переменной t = 0. Отсюда
одно из существенных достоинств операционного исчисления со-
∞
иметь вид f (t )e − pt = 0 − f (0) стоит в том, что при решении дифференциальных уравнений сразу
0 учитываются начальные условия. Упрощение записей получаем,
∞ ∞ если считать начальные условия равными нулю (это также важ-
и, следовательно, f1( p ) = p ∫ f (t )e − pt dt − f ( 0 ) , но ∫ f (t)e
− pt
dt = f ( p) .
0 0
19 20
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- …
- следующая ›
- последняя »
