Применение метода, упрощающего обратное преобразование Лапласа при исследовании динамики колебательных систем. Золотарев И.Д. - 8 стр.

чения аргумента, при котором δ -функция обращается в ∞ . Изо-                                                   3.1. Теорема запаздывания
бражение δ -функции, учитывая (2.7), определяется как
                              ∞                         ε                                 Найдем           изображение                fτ ( p )       запаздывающей                          функции
                   fδ ( p) = ∫ δ (t )e − pt dt = ∫ δ (t )dt = 1 .
                              0                         0                         fτ (t ) = f (t −τ ), τ > 0 (рис. 3.1):
Здесь будем считать, что нижний предел охватывает δ -функцию.
Таким образом,                                                                                                                                                    ∞
                                                                                                                                                                                   − pt
                         fδ ( p ) = 1 .                  (2.8)                                                                                      fτ ( p ) =    ∫ f ( t − τ )e          dt . (3.1)
                                                                                                  f (t )                                                          0
                                                                                                                                                    Но в интеграле (3.1) подын-
             2.4.2. Изображение единичного скачка                                                                                                   тегральная функция равна
      Найдем изображение единичного скачка, применив к функ-                                                                                        нулю при t < τ , так как для
ции 1(t) прямое преобразование Лапласа                                                                                                              таких                t       имеем
                                  ∞                         ∞                                                                                        fτ (t ) = f (t − τ ) = 0 . В силу
                     f ск ( p) = ∫1(t )e − pt dt = ∫ e− pt dt .                   0                 τ                                               этого равенство (3.1) приво-
                                  0                         0
                                                                                                                                      t
                                                                                                                                                    дится к виду
Заменим переменную интегрирования                                                                                                                                 ∞
                                                                                                 Рис. 3.1                                                                            − pt
                                  ⎧t = ∞                        x = −∞,
                    − pt = x, при ⎨                                                                                                                  fτ ( p ) =     ∫ f ( t − τ )e          dt . (3.2)
                                  ⎩t = 0                        x = 0.                                                                                            τ
                    − pdt = dx,                                                   Произведем замену переменной интегрирования t1 = t − τ , при
                                                                                  t = τ имеем t1 = 0 , при t = ∞, t1 = ∞, dt1 = dt ,
                                      −∞                                                               ∞                                        ∞
                                  1        x            1 x −∞     1
Тогда            f ск ( p ) = −
                                  p   ∫e       dx = −    e
                                                        p 0
                                                               = 0+ .
                                                                   p                       fτ ( p) =   ∫   f (t1 )e − p (t1 +τ ) dt1 = e − pτ   ∫ f (t1)e
                                                                                                                                                            − pt1
                                                                                                                                                                    dt1 = e − pτ f ( p ) .
                                      0
                                                                                                       0                                        0
                                                  1                               Таким образом,
Таким образом,                        f ск ( p ) = .                      (2.9)
                                                  p
                                                                                                                 fτ ( p ) = e − pτ f ( p ) .                                                     (3.3)

               3. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ
                                                                                          3.2. Теорема смещения в пространстве изображений
            ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
                                                                                                        (теорема транспозиции)
      Теоремы операционного исчисления (для изображений и
оригиналов функций) помимо их непосредственного приложения,                               Дано*: f (t ) → f ( p) .
соответствующего названию теоремы, позволяют получить изо-                        Найдем изображение f Ω ( p ) для функции вида f Ω (t ) = f (t )e ± jΩ t .
бражения сигналов, описываемых более сложными функциями,
через изображения простых сигналов. Так, например, воспользо-
вавшись изображением единичного скачка, можно получить изо-
бражение экспоненциального импульса или синусоидального сиг-                          *
                                                                                        Здесь и далее знак → означает соответствие, т.е. запись f (t ) → f ( p) озна-
нала.                                                                             чает, что для функции f (t) соответствует изображение f ( p) .

                                               15                                                                                         16