Применение метода, упрощающего обратное преобразование Лапласа при исследовании динамики колебательных систем. Золотарев И.Д. - 6 стр.

                      dny           d n−1 y           dy                                             2.2. Прямое преобразование Лапласа
                   an    n
                           + a n −1    n −1
                                            + ... + a1 + a0 y =
                      dt            dt                dt
                                                                              (1.7)         Прямое преобразование Лапласа имеет вид
                        d mx           d m−1 x
                   = bm m + bm−1 m−1 + ... + b0 x.                                                                            ∞
                        dt             dt                                                                                                  − pt
Или в компактном виде
                                                                                                                   f ( p) =   ∫ f ( t )e          dt ,              (2.1)
                                                                                                                              0
                         n          dµy           m     dλx                           где p = c + iω – комплексная переменная, c – абсцисса сходимости.
                         ∑ aµ            µ
                                             =   ∑ bλ        λ
                                                                 .            (1.8)
                                                                                      В результате выполнения интегрального преобразования (2.1) по-
                        µ =0        dt           λ =0   dt
     Задача анализа сводится к решению дифференциального                              лучаем функцию переменной p, которая зависит от вида подынте-
уравнения (1.7).                                                                      гральной функции f(t):
                                                                                                                  f ( p ) ÷ f (t ) .
           x(t )               n         dµy   m       dλx           y (t )
                               ∑ aµ          = ∑    bλ                                Функцию f ( p ) называют изображением функции f (t ) , а f (t ) –
                             µ =0        dt µ λ = 0    dt λ
                                                                                      оригиналом; символом ÷ обозначаем соответствие изображения и
                                                                                      оригинала. Иногда применяют вместо (2.1) символическую запись
                          Рис. 1.3                                                     f ( p ) = L{ f (t )} , где оператор L символизирует прямое преобразо-
   Схематически «взаимоотношения» вход→система→выход при
                                                                                      вание Лапласа. Между данным оригиналом и его изображением
описании системы дифференциальным уравнением показаны на
                                                                                      существует единственная связь (теорема о единственности изо-
рис. 1.3.
                                                                                      бражения), т.е. каждому оригиналу соответствует единственное
                                                                                      изображение. Более строго это положение формулируется «с точ-
  2. ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
                                                                                      ностью до меры нуль оригинала», когда f (t ) может иметь от-
            ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ
        ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ                                                    дельные точки вне «гладкого» описания функции (например, M1 и
                                                                                      M2 на рис. 2.1).
                        2.1. Исходные положения
                                                                                                   ti + 0
      Операционное исчисление представляет мощный аппарат                             При этом       ∫ f (ξ )dξ = 0 ,             f(t)
для решения линейных дифференциальных уравнений. При этом                                          ti − 0
                                                                                                                                                  M1
ищется образ дифференциального уравнения в пространстве изо-                          где ti – аргумент функ-
бражений. Упрощение получения решения получаем за счет ал-                            ции f (t ) , в которой она
гебраизации ДУ при переходе в пространство изображений. Это                           претерпевает разрыв ме-
достигается применением прямого преобразования Лапласа (ППЛ)                          ры нуль (т.е. разрыв с
к правой и левой части дифференциального уравнения (1.7). Кро-                        нулевой площадью) [29].                                                M2
ме того, операционное исчисление позволяет существенно снизить                                                                                                      t
трудоёмкость нахождения членов решения ДУ, определяемых на-                                                                                              Рис. 2.1
чальными условиями (начальными запасами энергии в энергона-
копительных элементах схемы) [1, 3, 29, 30].


                                             11                                                                                   12