ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
13
2.3. Обратное преобразование Лапласа
Обратный переход от изображения к оригиналу осуществля-
ется по формуле
dpepf
j
tf
pt
jc
jc
∫
∞+
∞−
= )(
2
1
)(
π
, (2.2)
которую символически записывают как
)}({)(
1
pfLtf
−
= , где
1−
L
–
оператор обратного интегрального преобразования Лапласа. Фор-
мулы (2.1) и (2.2) иногда называют формулами обращения Лапла-
са, а сами операции
1
L и
1−
L – обращениями оригинала или изо-
бражения соответственно. Иногда (особенно в старых руково-
дствах по операционному исчислению) используют вместо прямо-
го преобразования Лапласа преобразование Карсона, которое от-
личается от преобразования по Лапласу множителем
p , т.е. изо-
бражения по Карсону
)( pf
k
определим как
∫
∞
−
==
0
)}({)()( tfpLdtetfppf
pt
k
.
Тогда переход от изображения по Карсону к оригиналу осуществ-
ляется применением обратного преобразования на основе инте-
грала Бромвича.
dpe
p
pf
j
tf
pt
jc
jc
k
∫
∞+
∞−
=
)(
2
1
)(
π
.
В настоящее время преимущественно используется операционное
исчисление на основе преобразований Лапласа.
2.4. Изображения основных сингулярных функций
2.4.1. Изображение
δ
-функции
Иногда физический сигнал формально требуется предста-
вить разрывными (сингулярными) функциями более высокого по-
рядка, чем 1(t),
14
2
2
2
)(1
)( ,
)(1
)(
dt
td
t
dt
td
t ==
δδ
и т.д.
Большое применение имеет дельта-функция
)(t
δ
(рис. 2.2).
1(t)
0 t
0 t
)(t
δ
∞
Рис. 2.2
Функция
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
=∞
<
=
.0 при 0
,0 при
,0 при 0
)(
t
t
t
t
δ
(2.4)
∫∫
+
−
+∞
∞−
==
ε
ε
ξξδξξδ
1)()( dd . (2.5)
Условие (2.5) – условие нормировки
δ
-функции.
∫
∞−
=
t
dt
ξξδ
)()(1 . (2.6)
Принимая во внимание (2.4) и (2.5), можем записать для любого
τ
,
включая нуль:
∫∫∫
∞
∞−
+
−
+
−
=−=−=−
ετ
ετ
ετ
ετ
ττδττδτδ
)()()()()()()( fdttfdtttfdtttf . (2.7)
Выражение (2.7) определяет так называемое "фильтрующее" свой-
ство
δ
-функции. Интеграл вида (2.7) дает значение подынте-
гральной функции, входящей множителем к
δ
-функции для зна-
2.3. Обратное преобразование Лапласа d1(t ) d 21(t )
δ (t ) = , δ 2 (t ) = и т.д.
dt dt 2
Обратный переход от изображения к оригиналу осуществля-
Большое применение имеет дельта-функция δ (t ) (рис. 2.2).
ется по формуле
c + j∞
1 ∞
f ( p )e pt dp ,
2πj c −∫j∞
f (t ) = (2.2)
1(t) δ (t )
которую символически записывают как f (t ) = L−1{ f ( p )} , где L−1 –
оператор обратного интегрального преобразования Лапласа. Фор-
мулы (2.1) и (2.2) иногда называют формулами обращения Лапла-
са, а сами операции L1 и L−1 – обращениями оригинала или изо-
бражения соответственно. Иногда (особенно в старых руково- 0 t 0 t
дствах по операционному исчислению) используют вместо прямо- Рис. 2.2
го преобразования Лапласа преобразование Карсона, которое от-
личается от преобразования по Лапласу множителем p , т.е. изо- Функция
бражения по Карсону f k ( p ) определим как ⎧0 при t < 0,
∞ ⎪
δ (t ) = ⎨∞ при t = 0, (2.4)
f k ( p ) = p ∫ f (t )e − pt dt = pL{ f (t )} . ⎪0
⎩ при t > 0.
0
+∞ +ε
Тогда переход от изображения по Карсону к оригиналу осуществ-
ляется применением обратного преобразования на основе инте- ∫ ∫
δ (ξ )dξ = δ (ξ )dξ = 1 . (2.5)
грала Бромвича. −∞ −ε
c + j∞
1 f k ( p ) pt
2πj c −∫j∞ p
f (t ) = e dp . Условие (2.5) – условие нормировки δ-функции.
В настоящее время преимущественно используется операционное t
исчисление на основе преобразований Лапласа. 1(t ) = ∫ δ (ξ )dξ . (2.6)
−∞
2.4. Изображения основных сингулярных функций Принимая во внимание (2.4) и (2.5), можем записать для любого τ ,
включая нуль:
2.4.1. Изображение δ -функции ∞ τ +ε τ +ε
∫ f (t )δ (t − τ )dt = ∫ f (t )δ (t − τ )dt = f (τ ) ∫ δ (t − τ )dt = f (τ ) . (2.7)
Иногда физический сигнал формально требуется предста- −∞ τ −ε τ −ε
вить разрывными (сингулярными) функциями более высокого по- Выражение (2.7) определяет так называемое "фильтрующее" свой-
рядка, чем 1(t), ство δ -функции. Интеграл вида (2.7) дает значение подынте-
гральной функции, входящей множителем к δ -функции для зна-
13 14
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- …
- следующая ›
- последняя »
