Применение метода, упрощающего обратное преобразование Лапласа при исследовании динамики колебательных систем. Золотарев И.Д. - 9 стр.

     Иными словами, нужно найти связь между изображением                                       для интеграла Лапласа, немедленно вытекают следующие следст-
исходной функции вещественной переменной и изображением                                        вия в отношении преобразования Лапласа:
этой функции, умноженной на e ± jΩ t . Воспользуемся прямым                                          А. Теорема об изображении суммы функций вещественной
преобразованием Лапласа:                                                                       переменной.
                           ∞                          ∞                                              Изображение суммы функций вещественной переменной
              f Ω ( p) =   ∫    f Ω (t )e − pt dt =   ∫ f (t )e
                                                                  −( p∓ jΩ )t
                                                                                dt .   (3.4)   равно сумме изображений её составляющих. Пусть
                           0                          0                                                                  f ( t ) = ∑ f k (t ) ,       (3.8)
     Сравнивая (3.4) с формулой (2.1) прямого преобразования                                                                                            k
Лапласа, замечаем, что после выполнения операции интегрирова-                                  где символ         ∑     означает сумму по всем k составляющим сигнала.
ния по t в (3.4) получаем изображение f ( p ∓ jΩ ) с такой же функ-                                                k

циональной зависимостью от p ∓ jω , какая имела место относи-                                  Тогда, применяя прямое преобразование Лапласа к (3.8), получим:
                                                                                                             ∞                    ∞                                ∞
тельно переменной p для изображения f ( p ) , получаемого в ре-                                   f ( p) =   ∫   f (t )e − pt dt = ∫ [ ∑ f k (t )]e − pt dt = ∑ [ ∫ f k (t )e − pt dt ] = ∑ f k ( p ) ,
зультате выполнения ППЛ над исходной функцией f (t ) . То есть                                               0                     0 k                         k   0                      k

                                     f Ω ( p ) = f ( p ∓ jΩ ) .                        (3.5)   т.е. если f (t ) = ∑ f k (t ) , то и изображение
                                                                                                                        k
        Таким образом, умножение функции времени на множитель                                                                            f ( p) = ∑ fk ( p) .                                      (3.9)
  ± jΩt
e       смещает начало координат независимой переменной p на                                                                                        k
комплексной плоскости на величину ± jΩ вдоль мнимой оси.                                              Здесь в силу линейности преобразования Лапласа (функция
                                                                                               f (t ) входит под знак интеграла в 1-й степени) использовано по-
        Совершенно аналогично для
                                                                                               ложение: интеграл суммы функций равен сумме интегралов от
                                    fα ( t ) = f ( t )e ±α t
                                                                                               этих функций.
имеем                                                                                                Б. Теорема об умножении оригинала и изображения на по-
                                  fα ( p ) = f ( p ∓ α ) .
                                                       (3.6)                                   стоянный множитель.
То есть в этом случае (при умножении функции в пространстве                                    Если
                ±α t                                                                                             f (t ) → f ( p) , то af (t ) → af ( p ) . (3.10)
оригиналов на e      ) имеем смещение координат вдоль вещест-
венной оси на величину ±α . Наконец, если исходную функцию                                           Здесь a – постоянная. Эта теорема не требует специальных
                 ±p t                                      ± pν t                              доказательств. Просто при выполнении прямого преобразования
умножить на     e ν ,          т.е. f pν (t ) = f (t ) e            , где pν – комплексная
                                                                                               Лапласа постоянный множитель выносится за знак интеграла.
величина, то имеем связь между изображениями
                   f p ( p ) = f ( p ∓ pν ) .                                          (3.7)    3.4. Теорема об изображении производной функции времени
                           ν


        3.3. Теоремы, вытекающие из линейных свойств                                                  Пусть f (t ) → f ( p ) . Найдем изображение производной ори-
                   преобразования Лапласа                                                      гинала f1( p ) так, что
                                                                                                                                          df (t )
     Из линейных свойств определенного интеграла, остающихся                                                                                      → f1( p ) .
                                                                                                                                           dt
справедливыми и для несобственных интегралов, в частности и

                                               17                                                                                                  18