Применение метода, упрощающего обратное преобразование Лапласа при исследовании динамики колебательных систем. Золотарев И.Д. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОмГУ | Омск

Составители: 

Рубрика: 

21
ный для практики, но все же частный случай работы системы)
*
.
Тогда из (3.15) имеем для нулевых начальных условий простое
соотношение
)()( pfppf
n
n
= . (3.16)
3.5. Теорема об изображении интеграла функции
вещественной переменной
Пусть
)()( pftf → .
Найдём изображение интеграла:
∫
=
t
dftF
0
)()(
ξξ
. (3.17)
Нужно определить:
)}({)( tFLpF = .
Дифференцируя первообразную функцию (3.17), имеем
)(
)(
tf
dt
tdF
= . (3.18)
Отсюда, в соответствии с теоремой об изображении производной,
можем записать:
)0()()( FpFppf −= . (3.19)
Но из (3.17) имеем F(0)=0, так как значение определённого интег-
рала с равными пределами равно нулю. Значит,
)()( pFppf =
.
Тогда
p
pf
pF
)(
)( =
. (3.20)
Таким образом, изображение интеграла исходной функции
равно ее изображению, поделенному на p.
*
Наличие нулевых начальных условий, вообще говоря, не является принци-
пиальным для последующего рассмотрения метода упрощающего ОПЛ. Они
влияют лишь на значения коэффициентов при целых степенях переменной p,
получаемых при их приведении для p одинаковых степеней и которые, таким
образом, зависят от начальных условий (см. формулы (3.15)).
22
4. ИЗОБРАЖЕНИЯ СИГНАЛОВ ТИПОВЫХ ФОРМ
Воспользуемся приведёнными выше теоремами для нахож-
дения изображений некоторых важных функций, определяющих
сигналы, часто встречающихся при исследовании радиоэлектрон-
ных схем. При этом будем исходить из полученного ранее изо-
бражения единичного скачка
ppft
ск
/1)()(1 =→
.
4.1. Изображение экспоненциального импульса
Определим экспоненциальный импульс в форме
)(1)( tAetf
t
e
β
= , (4.1)
где
β
– вещественная постоянная, которая может принимать как
положительные, так и отрицательные значения. При
β
= 0 прихо-
дим к рассмотренной ранее в п. 2.4.2 функции скачка, где для
p
Atf
e
1
)(
0
→
=
β
и, воспользовавшись теоремой смещения в про-
странстве изображений, запишем:
β
−
=
p
Apf
e
1
)(
. (4.2)
4.2. Изображение функции включения
синусоидального сигнала
Пусть дан сигнал, определяемый функцией:
)(1)cos()( ttAtf
н
ψ
ω
+
=
, (4.3)
т.е. сигнал задан синусоидой, усеченной за счет множителя 1(t)
для области
0
<
t . Функцию (4.3), по аналогии с единичным скач-
ком, будем называть функцией радиоскачка [5]. Воспользовав-
шись формулой Эйлера, перепишем (4.3) в виде
)(1
22
)(
)()(
t
ee
Atf
tjtj
нн
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+=
+−+
ψωψω
. (4.4) 
ный для практики, но все же частный случай работы системы)*.                         4. ИЗОБРАЖЕНИЯ СИГНАЛОВ ТИПОВЫХ ФОРМ
Тогда из (3.15) имеем для нулевых начальных условий простое
соотношение                                                                       Воспользуемся приведёнными выше теоремами для нахож-
                      fn ( p) = pn f ( p) .            (3.16)                дения изображений некоторых важных функций, определяющих
                                                                             сигналы, часто встречающихся при исследовании радиоэлектрон-
        3.5. Теорема об изображении интеграла функции                        ных схем. При этом будем исходить из полученного ранее изо-
                   вещественной переменной                                   бражения единичного скачка 1(t ) → f ск ( p ) = 1 / p .

     Пусть f (t ) → f ( p ) .                                                          4.1. Изображение экспоненциального импульса
Найдём изображение интеграла:
                                   t
                                                                                   Определим экспоненциальный импульс в форме
                           F (t ) = ∫ f (ξ )dξ .                   (3.17)                            f e (t ) = Ae β t 1(t ) ,        (4.1)
                                   0                                         где β – вещественная постоянная, которая может принимать как
Нужно определить: F ( p ) = L{F (t )} .                                      положительные, так и отрицательные значения. При β = 0 прихо-
    Дифференцируя первообразную функцию (3.17), имеем                        дим к рассмотренной ранее в п. 2.4.2 функции скачка, где для
                             dF(t)                                                          1
                                   = f (t) .                       (3.18)    f e (t ) → A        и, воспользовавшись теоремой смещения в про-
                              dt                                              β =0          p
Отсюда, в соответствии с теоремой об изображении производной,                странстве изображений, запишем:
можем записать:                                                                                                                     1
                      f ( p ) = pF ( p ) − F ( 0) .            (3.19)                                               f e ( p) = A       .                      (4.2)
                                                                                                                                   p−β
Но из (3.17) имеем F(0)=0, так как значение определённого интег-
рала с равными пределами равно нулю. Значит, f ( p ) = pF ( p ) .                               4.2. Изображение функции включения
Тогда                                                                                                  синусоидального сигнала
                                            f ( p)
                                 F ( p) =          .               (3.20)            Пусть дан сигнал, определяемый функцией:
                                              p
      Таким образом, изображение интеграла исходной функции                                                    f (t ) = A cos(ω нt +ψ )1(t ) ,                (4.3)
равно ее изображению, поделенному на p.                                      т.е. сигнал задан синусоидой, усеченной за счет множителя 1(t)
                                                                             для области t < 0 . Функцию (4.3), по аналогии с единичным скач-
                                                                             ком, будем называть функцией радиоскачка [5]. Воспользовав-
                                                                             шись формулой Эйлера, перепишем (4.3) в виде
                                                                                                               ⎡ e j (ω н t +ψ ) e − j (ω н t +ψ ) ⎤
   *                                                                                                f (t ) = A ⎢                +                  ⎥1(t ) .   (4.4)
     Наличие нулевых начальных условий, вообще говоря, не является принци-                                             2                2
                                                                                                               ⎢⎣                                  ⎥⎦
пиальным для последующего рассмотрения метода упрощающего ОПЛ. Они
влияют лишь на значения коэффициентов при целых степенях переменной p,
получаемых при их приведении для p одинаковых степеней и которые, таким
образом, зависят от начальных условий (см. формулы (3.15)).

                                       21                                                                                  22

Страницы