ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
23
Применив теорему смещения в частотной области, получим
{
}
н
tj
jp
AetAL
н
ω
ω
∓
1
)(1 =
±
, (4.5)
{
}
н
j
tj
jp
e
AetAL
н
ω
ψ
ψω
∓
±
+±
=
)(
)(1 . (4.6)
Воспользовавшись теоремой об изображении суммы, из (4.4) по-
лучим выражение
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
−
==
−
н
j
н
j
jp
e
jp
eA
tfLpf
ωω
ψψ
2
)}({)(
. (4.7)
Иногда удобно изображение усеченной синусоиды предста-
вить в ином, более компактном, виде. Для этого произведём три-
виальные преобразования с выражением (4.7):
.
)sincos(
sincos)sincos(sincos
2
)sin)(cos()sin)(cos(
2
)(
22
22
22
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
−
−
+
−+++−
=
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−−+++
=
н
н
н
ннн
н
нн
p
pj
p
ppjp
A
p
jjpjjp
A
pf
ω
ψψω
ω
ψωψψψωψωψ
ω
ψψωψψω
Окончательно получим
22
sincos
)(
н
н
p
p
Apf
ω
ψωψ
+
−
=
. (4.8)
Аналогично найдем изображение для функции
)(1)sin()( ttAtf
н
⋅
+
=
ψ
ω
, )(1
2
)(
)()(
t
j
ee
Atf
tjtj
нн
ψωψω
+−+
−
=
, (4.9)
22
cossin
)}({)(
н
н
p
p
AtfLpf
ω
ψωψ
+
+
==
. (4.10)
Формула (4.10), очевидно может быть получена из (4.8) (и
наоборот, формула (4.8) из (4.10), если учесть, что косинусоидаль-
ный и синусоидальный сигналы отличаются сдвигом по фазе на
2/
π
(сравни формулы (4.3) и (4.9)). Тогда, например,
)(1)
2
cos()(1)sin( ttAttA
нн
π
ψωψω
−+=+ . (4.11)
24
Подставляя вместо
ψ
в формулу (4.8) для изображения ко-
синусоидальной функции значения
ψ
- 2/
π
, получим изображение
синусоидальной функции в форме (4.10).
4.3. Изображение колебательного процесса
с экспоненциальной огибающей
Сигнал для этого случая представим в форме
)(1)sin()( ttAetf
н
t
ψω
β
+= . (4.12)
Здесь формула (4.12) определяет затухающую или нарас-
тающую (в зависимости от того,
β
< 0 или
β
> 0) синусоидальную
функцию, для которой огибающая –
)(1 tAe
t
β
. Формула (4.12),
описывающая данный сигнал, отличается от выражения (4.9)
множителем
t
e
β
.
Тогда, воспользовавшись теоремой смещения, получаем из
выражения (4.10) для изображения функции (4.12)
22
)(
cossin)(
)}({)(
н
н
p
p
AtfLpf
ωβ
ψωψβ
+−
+−
==
. (4.13)
Для функции вида
)(1)cos()( ttAetf
н
t
ψω
β
+= , (4.14)
сопоставляя (4.14) с (4.3) из изображения (4.8) и применяя теоре-
му смещения, аналогично получим
22
)(
sincos)(
)(
н
н
p
p
Apf
ωβ
ψωψβ
+−
−−
=
. (4.15)
4.4. Изображение сигнала,
определяемого секулярной функцией
Запишем сигнал в наиболее общей форме:
)(1)cos()( tteAttf
н
tk
ψω
β
+= , (4.16)
где время входит вне знака косинуса (секулярная функция [19]),
k = 0, 1, 2,..., т.е.
k – целое, положительное, включая нуль.
Прежде чем найти изображение сигнала (4.16) найдем изо-
бражение вспомогательных функций. Для этого напомним, что
Применив теорему смещения в частотной области, получим Подставляя вместо ψ в формулу (4.8) для изображения ко-
{
L A 1(t )e ± jω н t
} =A
1
p ∓ jω н
, (4.5) синусоидальной функции значения ψ - π / 2 , получим изображение
синусоидальной функции в форме (4.10).
{
L A 1(t )e ± j (ω н t +ψ ) = A } e ± jψ
p ∓ jω н
. (4.6) 4.3. Изображение колебательного процесса
с экспоненциальной огибающей
Воспользовавшись теоремой об изображении суммы, из (4.4) по-
лучим выражение Сигнал для этого случая представим в форме
jψ − jψ
A⎡ e e ⎤ f (t ) = Ae β t sin(ω нt + ψ )1(t ) . (4.12)
f ( p ) = L { f (t )} = ⎢ + ⎥. (4.7)
2 ⎢⎣ p − jω н p + jω н ⎥⎦
Иногда удобно изображение усеченной синусоиды предста- Здесь формула (4.12) определяет затухающую или нарас-
вить в ином, более компактном, виде. Для этого произведём три- тающую (в зависимости от того, β < 0 или β > 0) синусоидальную
виальные преобразования с выражением (4.7): функцию, для которой огибающая – Ae β t 1(t ) . Формула (4.12),
A ⎡ ( p + jω н )(cos ψ + j sinψ ) + ( p − jω н )(cos ψ − j sinψ ) ⎤ описывающая данный сигнал, отличается от выражения (4.9)
f ( p) = ⎢ ⎥=
2 p 2 + ω н2 множителем e β t .
⎣⎢ ⎦⎥
Тогда, воспользовавшись теоремой смещения, получаем из
⎡ p cos ψ − ω н sinψ + j (ω н cos ψ + p sinψ ) + p cos ψ − ω н sinψ ⎤
⎢ −⎥ выражения (4.10) для изображения функции (4.12)
A⎢ p 2 + ω н2 ⎥. ( p − β ) sinψ + ω н cosψ
= f ( p ) = L{ f (t )} = A . (4.13)
2 ⎢ j (ω н cos ψ + p sinψ ) ⎥
( p − β )2 + ω н2
⎢− 2 2 ⎥
⎢⎣ p + ωн ⎥⎦ Для функции вида
Окончательно получим f (t ) = Ae β t cos( ω нt + ψ )1(t ) , (4.14)
p cosψ − ω н sinψ сопоставляя (4.14) с (4.3) из изображения (4.8) и применяя теоре-
f ( p) = A . (4.8)
p 2 + ω н2 му смещения, аналогично получим
Аналогично найдем изображение для функции ( p − β ) cosψ − ω н sinψ
f ( p) = A . (4.15)
e j (ω н t +ψ ) − e − j (ω н t +ψ ) ( p − β ) 2 + ω н2
f (t ) = A sin(ω нt +ψ ) ⋅ 1(t ) , f (t ) = A 1(t ) , (4.9)
2j
p sinψ + ω н cosψ 4.4. Изображение сигнала,
f ( p ) = L{ f (t )} = A . (4.10) определяемого секулярной функцией
p 2 + ω н2
Формула (4.10), очевидно может быть получена из (4.8) (и Запишем сигнал в наиболее общей форме:
наоборот, формула (4.8) из (4.10), если учесть, что косинусоидаль- f (t ) = At k e β t cos( ω нt + ψ )1(t ) , (4.16)
ный и синусоидальный сигналы отличаются сдвигом по фазе на где время входит вне знака косинуса (секулярная функция [19]),
π / 2 (сравни формулы (4.3) и (4.9)). Тогда, например, k = 0, 1, 2,..., т.е. k – целое, положительное, включая нуль.
π Прежде чем найти изображение сигнала (4.16) найдем изо-
A sin(ω нt + ψ )1(t ) = A cos(ω нt + ψ − )1(t ) . (4.11)
2 бражение вспомогательных функций. Для этого напомним, что
23 24
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- …
- следующая ›
- последняя »
