Применение метода, упрощающего обратное преобразование Лапласа при исследовании динамики колебательных систем. Золотарев И.Д. - 14 стр.

      Исходя из теорем смещения и изображения суммы сигналов,                                                    5. ИЗОБРАЖАЮЩЕЕ УРАВНЕНИЕ
получаем из (4.19) и (4.20) искомое изображение секулярного сиг-
нала (4.16):                                                                                        Применим к правой и левой частям дифференциального
                                                                                               уравнения (1.7) прямое преобразование Лапласа.
                      Ak ! ⎡          e jψ                    e − jψ           ⎤                                          ⎧⎪ n     d µ y ⎫⎪ ⎧⎪ m     d λ x ⎫⎪
           f ( p) =        ⎢                        +                          ⎥.     (4.21)                            L ⎨ ∑ a µ µ ⎬ = L ⎨ ∑ bλ λ ⎬ .                 (5.1)
                       2 ⎣⎢ [ p − ( β + jω н )] k +1 [ p − ( β − jω н )] k +1 ⎦⎥                                           ⎪⎩µ = 0 dt ⎪⎭     ⎪⎩λ = 0 dt ⎪⎭
     Приведем последнее соотношение к общему знаменателю.                                            Будем для упрощения рассуждений считать, что исследуе-
При этом учтем, что                                                                            мая система имеет нулевые начальные условия. При нулевых на-
     {[( p − β ) − jω н ][( p − β ) + jω н ]}k +1 = [( p − β ) 2 + ω н2 ]k +1 . (4.22)         чальных условиях, свидетельствующих об отсутствии начальных
                                                                                               запасов энергии в исследуемой системе, выражения для изобра-
Тогда изображающая функция f ( p ) из (4.21) преобразуется к виду                              жений производных функций (3.15) переходят к более простому
                                                                                               виду (3.16), т.к. начальное значение функции и ее производных
                                                                                               вплоть      до       n −1   порядка    равны     нулю      т.е.
           Ak! ⎧⎪[( p − β ) + jωн ]k +1e jψ + [( p − β ) − jωн ]k +1e− jψ ⎫⎪
                                                                                               f (0) = 0, f ′(0) = 0, ..., f (
                                                                                                                                 n −1)
f ( p) =        ⎨                                                          ⎬=                                                            (0) = 0 .
            2 ⎪⎩                  [( p − β )2 + ωн2 ]k +1                  ⎪⎭
                                                                                                    Применяя теорему об изображении производной, а также
  Ak! ⎧⎪[( p − β ) + jωн ]k +1(cosψ + j sinψ ) + [( p − β ) − jωн ]k +1(cosψ − j sinψ ) ⎫⎪     вспомогательные теоремы об изображении суммы и умножении
=      ⎨                                                                                 ⎬=    функции на постоянную величину, сразу получим
   2 ⎪⎩                             [( p − β )2 + ωн2 ]k +1                              ⎪⎭
                                                                                                                        ⎛ n      ⎞
                                                                                                                        ⎜ a p µ ⎟ ⋅ y ( p ) = ⎛⎜ b p λ ⎞⎟ ⋅ x ( p ),
                                                                                                                                                  m

=
  Ak! ⎡{[( p − β ) + jωн ]k +1 + [( p − β ) − jωн ]k +1}cosψ
                                                             +
                                                                                                                          ∑
                                                                                                                        ⎜ µ =0 µ ⎟             ⎜  ∑   λ ⎟
                                                                                                                                                                       (5.2)
      ⎢                                                                                                                 ⎝        ⎠             ⎝ λ =0   ⎠
   2 ⎣⎢                [( p − β )2 + ωн2 ]k +1
                                                                                               где x ( p ) и y ( p ) – изображения входного сигнала и отклика систе-
  j{[( p − β ) + jωн ]k +1 − [( p − β ) − jωн ]k +1}sinψ ⎤                                     мы.
+                                                        ⎥.                           (4.23)
                  [( p − β )2 + ωн2 ]k +1                ⎦⎥                                           Из выражения (5.2) изображение отклика системы найдем
                                                                                               как
При k = 0 выражение (4.23) принимает форму                                                                                           y ( p) = K ( p) x ( p) ,          (5.3)
                                ( p − β ) cosψ − ω н sinψ
                     f ( p) = A                           ,                                                                                          m
                                     ( p − β )2 + ω н2                                                                                           ∑ bλ p λ
т.е. при k = 0 приходим от (4.23) к формуле (4.15) изображения                                                                      K ( p ) = λn= 0         ,          (5.4)
для функции (4.14), которую получаем из оригинала (4.16), пола-
гая в нем k = 0 .
                                                                                                                                                 ∑ aµ p µ
                                                                                                                                                 µ =0

                                                                                               где дробно-рациональная функция K(p) называется передаточной
                                                                                               функцией системы (или системной функцией). Из сопоставления
                                                                                               (5.4) с исходным дифференциальным уравнением (формула (1.7))
                                                                                               следует, что передаточная функция целиком определяется коэф-

                                                  27                                                                                             28