Применение метода, упрощающего обратное преобразование Лапласа при исследовании динамики колебательных систем. Золотарев И.Д. - 16 стр.

изображений полиномами целых степеней переменной p. Высшая         Применяя к (6.1) прямое преобразование Лапласа и учитывая, что
степень полинома в левой части равна порядку дифференциально-      L{δ (t )} = 1 , получим
го уравнения. Наличие начальных условий лишь приведет к появ-                                      n
лению дополнительных членов в правом полиноме, степень кото-                                     ( ∑ aµ p µ ) g ( p ) = 1 ,                           (6.2)
рых ниже порядка дифференциального уравнения. После приведе-                                      µ =0
ния подобных членов получаем полиномы целых степеней в пра-        где g ( p) – изображение импульсной характеристики системы.
вой и левой части изображающего уравнения для исходного диф-       Отсюда
ференциального уравнения вида (1.7). Таким образом, наличие на-
                                                                                                                1
чальных условий лишь изменит величину коэффициентов при це-                                   g( p) =                    = K ( p) .                   (6.3)
                                                                                                          n
лых степенях p.                                                                                                     µ
                                                                                                         ∑ aµ p
         Для большинства практических задач радиоэлектроники пе-                                         µ =0
редаточная характеристика K(p) является дробно-рациональной              Из (6.3) следует, что с точностью до размерности изображе-
функцией (ДРФ), т.е. представляет отношение полиномов целых        ние импульсной реакции системы равно передаточной характери-
степеней p (формула (5.4)). Будем рассматривать класс сигналов,    стике системы.
для которых изображение x ( p ) также ДРФ. Тогда и изображение           Для нахождения импульсной реакции применим к (6.3) об-
 y ( p ) как произведение дробно-рациональных функций также бу-    ратное преобразование Лапласа. Тогда
дет ДРФ.                                                                              g (t ) = L−1{g ( p )} = L−1{K ( p )} .   (6.4)
     6. ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ                                 Из этого уравнения следует простая связь между импульс-
                                                                   ной реакцией и передаточной функцией системы, а именно: им-
      Временные характеристики системы (радиоэлектронной схе-      пульсная реакция системы с точностью до размерности определя-
мы) – это отклик системы на типовые формы сигналов. Они одно-      ется ОПЛ передаточной характеристики ее*.
значно связаны с ее передаточной характеристикой, а значит, и с          Так как система задана передаточной характеристикой K(p)
дифференциальным уравнением системы. Наиболее широко ис-           (или дифференциальным уравнением, однозначно связанным с
пользуются импульсная реакция и переходная характеристика          K(p)), то и импульсная реакция однозначно определяет систему.
системы.                                                           Иными словами, импульсная реакция является функцией времени,
                                                                   определяющей систему во временной области, как и передаточная
              6.1. Импульсная реакция системы                      характеристика в области комплексной переменной p или диффе-
      Импульсная реакция системы – это отклик системы на воз-      ренциальное уравнение, связывающее вход и выход системы.
буждающий сигнал вида δ-функции. Импульсная реакция имеет
ряд синонимов: импульсная реакция, импульсная характеристика,
память системы. В физике аналогом импульсной реакции является
функция Грина. Будем обозначать импульсную реакцию g(t). То-           *
гда для дифференциального уравнения вида (1.7)                          Из (6.1) и (6.2), учитывая вид ППЛ (формула (2.1)), следует, что размерность
                                                                   единицы в правой части (6.2), как изображения δ-функции, равна [δ (t)]⋅c. Совер-
                      n     dµg                                    шенно так же из (6.3) размерность импульсной реакции [g ( p )] = [δ (t )]⋅ c ⋅ [K ( p )] .
                     ∑ aµ          = δ (t ) .              (6.1)
                     µ =0   dt µ                                   Здесь квадратные скобки означают размерность соответствующей величины
                                                                   (функции).

                                   31                                                                               32